XVIII OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XVIII OM, 1966-1967

Etap:

Na płaszczyźnie leżą dwa trójkąty jeden na zewnątrz drugiego.
Dowieść, że istnieje taka prosta, przechodząca przez dwa wierzchołki jednego trójkąta, że trzeci wierzchołek tego trójkąta oraz drugi trójkąt leżą po przeciwnych stronach tej prostej.

Rozwiązanie

Oznaczmy wierzchołki danych trójkątów odpowiednio literami $A_1, A_2, A_3$ oraz $B_1, B_2, B_3$ . Niech $MN$ będzie takim odcinkiem, że: $1^\circ$ punkt $M$ leży na obwodzie trójkąta $A_1A_2A_3$ , $2^\circ$ punkt $N$ leży na obwodzie trójkąta $B_1B_2B_3$ , $3^\circ$ odcinek $MN$ nie jest dłuższy od żadnego z odcinków łączących punkty obwodu trójkąta $A_1A_2A_3$ z punktami obwodu trójkąta $B_1B_2B_3$ .

Odcinek $MN$ można znaleźć w sposób następujący. Dla każdej z dziewięciu par $(A_i, B_jB_k)$ , gdzie $i, j, k = 1, 2$ lub $3$ , $j \ne k$ , wybierzmy najkrótszy z odcinków łączących punkt $A_i$ z punktami odcinka $B_jB_k$ ; będzie to wysokość trójkąta $A_iB_jB_k$ z wierzchołka $A_i$ lub jeden z odcinków $A_iB_j$ , $A_iB_k$ . Podobnie dla każdej z dziewięciu par ( $B_i, A_jA_k$ ) wybierzmy najkrótszy z odcinków łączących punkt $B_i$ z punktami odcinka $A_jA_k$ . Wreszcie spośród otrzymanych w ten sposób osiemnastu odcinków (niektóre z nich mogą się pokrywać), wybierzmy najkrótszy, tj. taki, który nie jest dłuższy od żadnego innego. Jeden koniec tego odcinka, nazwiemy go $M$ , leży na obwodzie trójkąta $A_1A_2A_3$ , a drugi koniec $N$ - na obwodzie trójkąta $B_1B_2B_3$ . Odcinek $MN$ spełnia wyżej podany warunek $3^\circ$ , gdyż dla każdego odcinka łączącego punkt $K$ obwodu pierwszego trójkąta z punktem $L$ obwodu drugiego trójkąta (rys. 7) istnieje równoległy i nie dłuższy od niego odcinek łączący wierzchołek jednego trójkąta z punktem boku drugiego trójkąta, ten zaś z kolei jest nie dłuższy niż $MN$ . Zatem $MN$ jest odcinkiem o żądanych własnościach.

Poprowadźmy przez punkty $M$ i $N$ odpowiednio proste $m$ i $n$ prostopadłe do $MN$ (rys. 8). Wewnątrz pasa płaszczyzny ograniczonego prostymi $m$ i $n$ nie ma punktów żadnego z danych trójkątów. Gdyby bowiem wewnątrz tego pasa znajdował się np. punkt $P$ trójkąta $A_1A_2A_3$ , wówczas cały odcinek $PM$ leżałby w trójkącie $A_1A_2A_3$ , a ponieważ kąt $PMN$ jest ostry, więc między $P$ i $M$ istniałyby takie punkty $Q$ , że $QN < MN$ , co przeczyłoby określeniu odcinka $MN$ .

Zachodzi jeden z następujących przypadków.

a) Punkty $M$ i $N$ są wierzchołkami danych trójkątów. Przypuśćmy np., że $M$ pokrywa się z $A_1$ , a $N$ z $B_1$ (rys. 9). Weźmy pod uwagę kąty o wierzchołku $A_1$ , jakie półproste $A_1A_2$ i $A_1A_3$ tworzą z półprostymi $m_1$ i $m_2$ prostej $m$ oraz kąty o wierzchołku $B_1$ utworzone przez półproste $B_1B_2$ i $B_1B_3$ z półprostymi $n_1$ i $n_2$ . Niech najmniejszym z tych kątów będzie np. kąt $\alpha$ półprostej $A_1A_2$ z półprostą $m_1$ .

Wówczas prosta $A_1A_2$ jest prostą, jakiej poszukujemy.

Istotnie, kąt $\alpha$ jest albo ostry, albo zerowy. Jeśli $\alpha = 0$ , prosta $A_1A_2$ pokrywa się z prostą $m$ , więc punkt $A_3$ leży po jednej stronie tej prostej, a punkty $B_1, B_2, B_3$ - po drugiej. To samo zachodzi, gdy kąt $\alpha$ jest ostry i prosta $A_1A_2$ przecina prostą $n$ w punkcie $C$ . Punkt $A_3$ leży wówczas po przeciwnej stronie prostej $A_1A_2$ niż punkt $B_1$ (gdyż kąt wypukły $A_1A_3$ z $m_1$ jest $> \alpha$ ). Punkty $B_2$ i $B_3$ leżą zaś po tej samej stronie co $B_1$ . Gdyby bowiem np. punkt $B_2$ leżał po przeciwnej stronie prostej $A_1A_2$ niż punkt $B_1$ lub na prostej $A_1A_2$ , to na odcinku $B_1B_2$ znajdowałby się jakiś punkt $D$ prostej $A_1A_2$ i $\measuredangle DB_1C = \beta$ byłby wbrew założeniu mniejszy od $\alpha$ , gdyż $\measuredangle B_1CA_1 = \alpha$ byłby kątem zewnętrznym trójkąta $DB_1C$ .

b) Punkty $M$ i $N$ nie są oba wierzchołkami danych trójkątów, np. punkt $M$ leży wewnątrz boku $A_1A_2$ . W takim razie cały bok $A_1A_2$ leży na prostej $m$ i prosta $m$ oddziela punkt $A_3$ od punktów $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ .