XVIII OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XVIII OM, 1966-1967

Etap:

Dowieść, ze punkty $A_1, A_2, \ldots, A_n$ ( $n \geq 7$ ) znajdujące się na powierzchni kuli leżą wtedy i tylko wtedy na okręgu, gdy płaszczyzny styczne do powierzchni kuli w tych punktach mają punkt wspólny lub są równoległe do jednej prostej.

Rozwiązanie

a) Załóżmy, że punkty $A_1, A_2, \ldots, A_n$ powierzchni kuli o środku $O$ leżą na okręgu $k$ . Niech $\alpha_1$ oznacza płaszczyznę styczną do kuli w punkcie $A_i$ ( $i= 1,2, \ldots, n$ ), a $\pi$ - płaszczyznę okręgu $k$ .

Jeżeli środkiem okręgu $k$ jest punkt $0$ , to płaszczyzna $\alpha_i$ jest prostopadła do promienia $OA_i$ , więc jest prostopadła do płaszczyzny $\pi$ zawierającej prostą $OA_i$ . Zatem płaszczyzna $\alpha_i$ jest równoległa do każdej prostej prostopadłej do $\pi$ .

Jeżeli zaś środkiem okręgu $k$ jest punkt $S$ różny od $O$ (rys. 10), to płaszczyzna $\pi$ jest prostopadła do prostej $OS$ , zatem w trójkącie $OSA_i$ kąt $S$ jest prosty, a kąt $O$ jest ostry, wobec czego prosta $OS$ przecina płaszczyznę $\alpha_i$ w pewnym punkcie $T_i$ . W trójkącie $OA_iT_i$ kąt $A_i$ jest prosty, zachodzi zatem równość $OA_i^2 = OT_i \cdot OS$ , stąd

$<br /> OT_i = \frac{OA_i^2}{OS}.<br />$

Odcinek $OA_i$ równa się promieniowi kuli, więc odcinek $OT_i$ ma dla każdego $i$ tę samą długość, a ponieważ wszystkie punkty $T_i$ leżą na tej samej półprostej $OS$ , więc się pokrywają.

b) Załóżmy, że wszystkie płaszczyzny $\alpha_i$ są równoległe do prostej $l$ lub wszystkie mają punkt wspólny $T$ . W pierwszym przypadku wszystkie odcinki $OA_i$ są prostopadłe do prostej $l$ , więc leżą w jednej płaszczyźnie $\pi$ , wobec czego wszystkie punkty $A_i$ leżą na okręgu $k$ , według którego płaszczyzna $\pi$ przecina powierzchnię danej kuli. W drugim przypadku prosta $TA_i$ jest dla każdego $i$ styczna do powierzchni kuli, więc jest prostopadła do promienia $OA_i$ . Niech $A_iS_i$ będzie wysokością trójkąta prostokątnego $OA_iT$ na przeciwprostokątną $OT$ ; wówczas $OA_i^2 = OT \cdot OS_i$ , zatem

$<br /> OS_i = \frac{OA_i^2}{OT},<br />$

skąd wynika, że wszystkie odcinki $OS_i$ są równe. Ponieważ zaś wszystkie punkty $S_i$ leżą na odcinku $OT$ , więc się pokrywają. Zatem wszystkie odcinki $A_iS_i$ leżą w jednej płaszczyźnie $\pi$ , wobec czego wszystkie punkty $A_i$ leżą na przecięciu płaszczyzny $\pi$ z powierzchnią kuli, tj. na pewnym okręgu $k$ .