XVIII OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XVIII OM, 1966-1967

Etap:

III

Znaleźć najwyższą potęgę liczby 2 będącą dzielnikiem liczby

$ L_n = (n+1)(n+2)\ldots 2n, $

gdzie $n$ jest liczbą naturalną.

Rozwiązanie

\spos{1} Zauważmy, że $n!L_n = (2n)!$ . Zatem

$ L_n = \frac{(2n)!}{n!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n} = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n - 1) \cdot \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n} = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n - 1) \cdot 2^n. $

Stąd wynika, że $L_n$ jest podzielne przez $2^n$ , ale nie jest podzielne przez $2^{n+1}$ .