XVIII OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XVIII OM, 1966-1967

Etap:

III

Dowieść, że jeżeli punkty $A_1, B_1, C_1$ leżące odpowiednio na bokach $BC, CA, AB$ trójkąta $ABC$ są rzutami prostokątnymi pewnego punktu $P$ trójkąta na te boki, to

$ (1) AC_1^2 + BA_1^2 + CB_1^2 = AB_1^2 + BC_1^2 + CA_1^2. $

Rozwiązanie

Z trójkątów prostokątnych $APB_1$ , $BPC_1$ , $CPA_1$ (rys. 11) otrzymujemy odpowiednio równości

$ (2) \qquad \begin{array}{c} AB_1^2 = AP^2 - PB^2_1,\\ BC_1^2 = BP^2 - PC^2_1,\\ CA_1^2 = CP^2 - PA^2_1, \end{array} $

a z trójkątów prostokątnych $APC_1$ , $BPA_1$ , $CPB_1$ odpowiednio równości

$ (3) \qquad \begin{array}{c} AC^2_1 = AP^2 - PC^2_1,\\ BA^2_1 = BP^2 - PA^2_1,\\ CB^2_1 = CP^2 - PB^2_1. \end{array} $

Suma prawych stron równości (2) jest równa sumie prawych stron równości (3). Istotnie więc zachodzi równość (1).

Uwaga. Łatwo uzyskać twierdzenie znacznie ogólniejsze od powyższego. Równości (2) i (3), z których wynika równość (1) są mianowicie słuszne przy założeniach o wiele słabszych od tych, które były podane w tekście twierdzenia. Na przykład równość $AB^2_1 = AP^2- PB^2_1$ zachodzi, gdy punkty $A$ , $P$ , $B$ są różne, a proste $AB_1$ i $PB_1$ są prostopadłe lub gdy choć jeden z punktów $A$ i $P$ pokrywa się z punktem $B_1$ . To samo dotyczy innych równości z układów (2) i (3). Wobec tego prawdziwe jest twierdzenie:

Jeżeli $A$ , $B$ , $C$ , $P$ są punktami przestrzeni, z których pierwsze trzy są różne, a $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ są odpowiednio rzutami prostokątnymi punktu $P$ na proste $BC$ , $CA$ , $AB$ , to zachodzi równość (1).

Dla przypadku, gdy punkty $A$ , $B$ , $C$ są niewspółliniowe zachodzi również twierdzenie odwrotne:

Jeżeli punkty $A$ , $B$ , $C$ są wierzchołkami trójkąta, a punkty $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ leżące odpowiednio na prostych $BC$ , $CA$ , $AB$ spełniają warunek (1), to $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ są rzutami prostokątnymi pewnego punktu $P$ odpowiednio na proste $BC$ , $CA$ , $AB$ .

Dowód. Poprowadźmy w płaszczyźnie $ABC$ przez punkt $A_1$ prostopadłą do prostej $BC$ , a przez punkt $B_1$ prostopadłą do prostej $AC$ ; przetną się one w pewnym punkcie $P$ . Niech $C_2$ będzie rzutem prostokątnym punktu $P$ na prostą $AB$ . Według udowodnionego poprzednio twierdzenia

$ (4) \qquad AC_2^2 +BA_1^2 +CB_1^2 = AB_1^2 +BC_2^2 +CA_1^2. $

Odejmując równości (1) i (4) otrzymujemy

$ (5) \qquad AC_1^2 -AC_2^2 = BC_1^2 -BC_2^2 . $

Z równości (5) wywnioskujemy, że punkt $C_2$ pokrywa się z punktem $C_1$ . Najdogodniej posłużyć się w tym celu rachunkiem wektorowym.

Równość (5) zapiszemy w postaci wektorowej

$ \overrightarrow{AC^2_1} - \overrightarrow{AC_2^2} = \overrightarrow{BC_1^2} - \overrightarrow{BC_2^2}. $

Stąd otrzymujemy kolejno

$ (\overrightarrow{AC_1} - \overrightarrow{AC}) (2 \overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{AC_2}) = (\overrightarrow{BC_1}-\overrightarrow{BC_2}) (\overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{BC_2}), $

$ \overrightarrow{C_2C_1} (\overrightarrow{AC_1}+\overrightarrow{AC_2}) = \overrightarrow{C_2C_1} (\overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{BC_2}), $

$ \overrightarrow{C_2C_1} (\overrightarrow{AC_1} - \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{AC_2} - \overrightarrow{BC_2}) = 0, $

$ \overrightarrow{C_2C_1} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB}) = 0, $

$ \overrightarrow{C_2C_1} \cdot \overrightarrow{AB} = 0. $

Ponieważ wektory $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{C_2C_1}$ nie są prostopadłe (punkty $C_1$ i $C_2$ leżą na prostej $AB$ ), a wektor $\overrightarrow{AB}$ jest według założenia różny od zera, więc z powyższej równości wynika, że

$ \overrightarrow{C_2C_1} = 0, $

tzn. punkty $C_1$ i $C_2$ pokrywają się, wobec czego $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ są rzutami prostokątnymi punktu $P$ na proste $BC$ , $CA$ , $AB$ c.n.d. Tę samą własność ma każdy punkt prostej prostopadłej do płaszczyzny $ABC$ w punkcie $P$ .