XVIII OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XVIII OM, 1966-1967

Etap:

III

Dowieść, że wielomian $x^3 + x + 1$ jest dzielnikiem wielomianu $P_n(x) = x^{n + 2} + (x+l)^{2n+1}$ dla każdego całkowitego $n \geq 0$ .

Rozwiązanie

Stosujemy indukcję zupełną. Dla $n = 0$ twierdzenie jest prawdziwe, gdyż $P_0(x) = x^2+ x + 1$ . Załóżmy, że dla pewnego naturalnego $n$ wielomian $P_n (x)$ jest podzielny przez $x^2+x+1$ . Utwórzmy wielomian

$ \begin{split} P_{n+1}(x) - xP_n(x) &= x^{n+3} + (x+1)^{2n+3} - [x^{n + 3} + x( x+ 1)^{2n+1}] =\\ & = x^{2n+1} [(x+1)^2-x] = x^{2n+1}(x^2 + x+1). \end{split} $

Stąd

$ P_{n+1}(x) = x \cdot P_n(x) + x^{2n+1} (x^2 + x+1). $

Wobec tej równości z założenia indukcyjnego wynika, że wielomian $P_{n+1}(x)$ jest podzielny przez $x^2+x+1$ ; wypowiedziane wyżej twierdzenie jest więc prawdziwe.