XVIII OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XVIII OM, 1966-1967

Etap:

III

Dowieść, że jeżeli wielokąt o nieparzystej liczbie boków wpisany, w okrąg ma wszystkie kąty równe, to wielokąt ten jest foremny.

Rozwiązanie

Załóżmy, że wielokąt $W$ o kolejnych wierzchołkach $A_1, A_2, \ldots, A_n$ , gdzie $n$ jest liczbą nieparzystą, ma wszystkie kąty równe i jest wpisany w okrąg $O(r)$ . Gdy $n = 3$ , teza twierdzenia jest oczywista, przyjmiemy więc, że $n \geq 5$ .

Niech $A_{i-1}, A_i, A_{i+1}$ będą trzema kolejnymi wierzchołkami wielokąta $W$ i niech w tym wielokącie $\measuredangle A_{i-1}A_iA_{i+1} = \alpha$ (rys. 13); ponieważ $n \geq 5$ , więc $\alpha \geq 108^\circ$ .

Według twierdzenia o kącie wpisanym w okrąg kąt wklęsły $A_{i-1}OA_{i+1} = 2 \alpha$ , więc kąt wypukły $A_{i-1}OA_{i+1} = 360^\circ - 2\alpha = \beta$ . Obróćmy wielokąt $W$ dokoła punktu $O$ o kąt $\beta$ , np. w kierunku wyznaczonym przez obieg $A_1A_2\ldots A_n$ wielokąta $W$ . Wierzchołek $A_{i-1}$ znajdzie się po tym obrocie w punkcie $A_{i+1}$ , tzn., każdy wierzchołek wielokąta $W$ pokryje wierzchołek o wskaźniku o $2$ większym, z tym, że za wskaźniki o $2$ większe od $n-1$ i $n$ uważamy $1$ i $2$ . A więc punkty