XVIII OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XVIII OM, 1966-1967

Etap:

III

Dana jest kula i płaszczyzna nie mająca z kulą punktów wspólnych. Znaleźć miejsce geometryczne środków okręgów styczności z kulą tych stożków opisanych na kuli, których wierzchołki leżą na danej płaszczyźnie.

Rozwiązanie

Wprowadzimy oznaczenia: $O$ - środek danej kuli, $r$ - jej promień, $M$ - rzut punktu $O$ na daną płaszczyznę $\pi$ , $A$ - dowolny punkt płaszczyzny $\pi$ różny od $M$ , $A'$ i $M'$ - środki okręgów styczności z kulą stożków opisanych na kuli, których wierzchołkami są odpowiednio $A$ i $M$ , $AT$ i $MS$ - dowolne tworzące tych stożków.

W trójkątach prostokątnych $ATO$ i $MSO$ (rys. 14).

$ OA \cdot OA' = OT^2 = r^2,\ OM \cdot OM' = OS^2 = r^2. $

Zatem

$ (1) \qquad \frac{OA}{OM} = \frac{OM'}{OA'}. $

Stąd wynika, że trójkąty $OAM$ i $OM'A'$ są podobne, wobec czego kąt $OA'M' = OMA = 90^\circ$ . Punkt $A'$ leży zatem na sferze o średnicy $OM'$ . Odwrotnie, jeśli $A'$ jest dowolnym punktem tej sfery różnym od $O$ , $A$ zaś - punktem przecięcia prostej $OA'$ z $\pi$ , to

$ (2) \qquad OA \cdot OA'= r^2. $

Istotnie, gdy $A'$ pokrywa się z $M'$ , równość (2) jest oczywista; a gdy $A' \ne M'$ , trójkąty $OAM$ i $OM'A'$ są podobne, zachodzi więc (1), zatem również (2). W takim razie dla dowolnej tworzącej $AT$ stożka o wierzchołku $A$ opisanego na kuli punkt $A'$ jest rzutem punktu $T$ na prostą $AO$ , więc $A'$ jest środkiem okręgu styczności tego stożka z kulą.

Poszukiwanym miejscem geometrycznym jest sfera o średnicy $OM'$ bez punktu $O$ .

Uwaga. Rozumowanie można skrócić korzystając z własności przekształcenia przez inwersję. Mianowicie równość $OA \cdot OA' = r^2$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy punkt $A'$ jest obrazem punktu $A$ w inwersji względem sfery $O(r)$ . Miejscem geometrycznym punktu $A'$ jest zatem obraz płaszczyzny $\pi$ w tej inwersji, tzn. sfera o średnicy $OM'$ bez punktu $O$ .