XVII OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XVII OM, 1965-1966

Etap:

Przedstawić wielomian $x^5 + x + 1$ w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia niższego o współczynnikach całkowitych.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że poszukiwany rozkład istnieje. Żaden z czynników tego rozkładu nie może być stopnia pierwszego. Gdyby bowiem dla każdego $x$ zachodziła równość

$ x^5+ x+1 = (mx+n) (ax^4 + bx^3 + \ldots), $

gdzie liczby $m, n, a, b, \ldots$ są całkowite, to stąd wynikałoby, że $ma = 1$ , zatem $m = a = \pm 1$ , więc wielomian $x^5+x+1$ miałby pierwiastek całkowity $-\frac{n}{m}$ . To zaś jest niemożliwe, gdyż dla każdego całkowitego $x$ liczba $x^5 + x + 1$ jest nieparzysta.

Stąd wynika, że żądany rozkład ma postać

$ x^5 + x + 1 = (mx^2+nx+p) (ax^3+bx^2+cx+d), $

gdzie liczby $m, n, p, a, b, c, d$ są całkowite.

W takim razie $ma= 1$ , $pd= 1$ , więc $m = a = \pm 1$ , $p = d = \pm 1$ .

Możliwe są zatem cztery przypadki, z których wystarczy rozpatrzyć dwa; pozostałe sprowadzają się do nich przez zmianę znaku obu czynników rozkładu.

a) Gdy $m = a=1$ , $p=d=1$ , wtedy z porównania współczynników przy jednakowych potęgach $x$ po obu stronach równości

$ x^5 + x +1 = (x^2+nx+1) (x^3+bx^2+cx+1) $

otrzymujemy

$ \begin{array}{cc} (1) \qquad b+n = 0 & (3) \qquad 1+nc+b = 0\\ (2) \qquad c+nb+1 = 0 & (4) \qquad n+c = 1. \end{array} $

Układ równań (1) - (4) ma jedno rozwiązanie $n= 1$ , $b=- 1$ , $c=0$ , co daje rozkład

$ x^5+x+1 = (x^2+x+1) (x^3- x^2 +1). $

b) Gdy $m = a=1$ , $p = d=- 1$ , otrzymujemy podobnie jak w przypadku a) układ równań

$ \begin{array}{cc} (1') \qquad b+n = 0 & \nr{3'} -1+nc-b = 0\\ (2') \qquad c+nb -1 = 0 & \nr{4'} -n-c=1. \end{array} $

Łatwo sprawdzić, że układ ten nie ma rozwiązań. Rozwiązaniem zadania jest zatem wzór

$ x^5+x+1 = (\varepsilon x^2+\varepsilon x+\varepsilon) (\varepsilon x^3-\varepsilon x^2+\varepsilon), $

gdzie $\varepsilon = \pm 1$ .

Uwaga. Rozkład, o który chodzi w zadaniu, można by znaleźć szybko w sposób następujący:

$ \begin{split} x^5+x+1 & = x^5- x^2 + x^2 + x +1 = x^2(x^3- 1)+ x^2 + x + 1 = \\ & = x^2(x- 1) (x^2+ x+1) + (x^2+x+1) = (x^2+x+1) (x^3-x^2+1). \end{split} $

Takie rozwiązanie zadania wymaga jeszcze dowodu, że nie ma już innego rozkładu poza tym, który otrzymamy zmieniając znaki obu znalezionych czynników. Najłatwiej to wykazać posługując się liczbami zespolonymi. Niech $x_1$ , $x_2$ oznaczają pierwiastki wielomianu $x^2+x+1$ , a $x_3$ , $x_4$ , $x_5$ - pierwiastki wielomianu $x^3-x^2+1$ .

Wówczas

$ x^5 + x + 1 = (x-x_1) (x-x_2) (x-x_3) (x-x_4) (x-x_5). $

Każdy dzielnik kwadratowy wielomianu $x^5+x+1$ mający współczynniki całkowite jest postaci $m(x-x_i) (x-x_k)$ , gdzie liczba $m$ jest całkowita, a $x_i$ , $x_k$ są dwoma pierwiastkami wielomianu. Otóż łatwo stwierdzić, że takim dzielnikiem może być tylko $m(x-x_1) (x-x_2)$ . Przeprowadzenie szczegółowego dowodu pozostawiamy jako ćwiczenie.

Wskazówka. Jedna z liczb $x_3$ , $x_4$ , $x_5$ jest liczbą rzeczywistą niewymierną, a dwie pozostałe są liczbami zespolonymi sprzężonymi, których suma i iloczyn są niewymierne.