XVII OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XVII OM, 1965-1966

Etap:

Dowieść, że jeżeli liczba rzeczywista $x_1$ spełnia równanie $x^3+2px+q = 0$ ( $p, q$ - dane liczby rzeczywiste), to $x_1q \leq p^2$ .

Rozwiązanie

Gdy $x_1 = 0$ , nierówność $x_1q \leq p^2$ jest prawdziwa, załóżmy wobec tego, że $x_1 \ne 0$ .

Według założenia $x_1^3+2px_1+q = 0$ , zatem liczba $x_1$ jest pierwiastkiem równania kwadratowego

$<br /> x_1x^2 + 2px + q = 0.<br />$

Wyróżnik tego równania jest więc nieujemny, zatem $p^2- x_1q \geq 0$ , stąd $x_1q \leq p^2$ .