XVII OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XVII OM, 1965-1966

Etap:

Znaleźć miejsce geometryczne środków ciężkości trójkątów ostrokątnych wpisanych w dany okrąg.

Rozwiązanie

Stwierdzamy najpierw, że każdy punkt $S$ leżący wewnątrz koła jest środkiem ciężkości pewnego trójkąta wpisanego w to koło. Istotnie, jeżeli punkt $S$ leży na promieniu $OC =r$ (rys. 1), punkt $M$ na przedłużeniu $CS$ poza punkt $S$ , przy czym $CM = \frac{3}{2} CS$ , wobec czego $CM < 2r$ , to prowadząc przez $M$ cięciwę $AB$ koła prostopadłą do $CM$ otrzymujemy trójkąt równoramienny $ACB$ o środku ciężkości $S$ .

Jeżeli przy tym $OS < \frac{1}{3} OC$ , to $CS > \frac{2}{3} OC$ , $CM>OC$ , więc też $CM > AM$ , zatem $\measuredangle ACM < 45^\circ$ , skąd wynika, że trójkąt $ACB$ jest ostrokątny.

Okazało się, że każdy punkt wewnętrzny koła współśrodkowego z danym kołem i mającego trzy razy mniejszy promień jest środkiem ciężkości trójkąta ostrokątnego wpisanego w dane koło.

Udowodnimy, że zachodzi również twierdzenie odwrotne.

Przypuśćmy, że $ABC$ jest trójkątem ostrokątnym wpisanym w dane koło, a $S$ jego środkiem ciężkości. Mamy dowieść, że $OS < \frac{1}{3} r$ .

Gdy $AC=BC$ , teza jest oczywista, gdyż punkt $O$ leży wówczas na środkowej $CM$ trójkąta i $OS = |CS-0C|=|\frac{2}3{3} CM-OC| < \frac{1}{3}r$ , gdyż $\frac{2}{3} r < \frac{2}{3} CM < \frac{4}{3} r$ , a $OC = r$ .

Przyjmijmy, że $AC < BC$ i niech $A'$ , $B'$ i $C'$ będą punktami odpowiednio symetrycznymi do $A$ , $B$ i $C$ względem średnicy koła równoległej do $AB$ (rys. 2). Z założenia, że trójkąt $ABC$ jest ostrokątny wynika, że punkt $C$ leży na mniejszym z dwóch łuków o końcach $A'$ i $B'$ , więc $CC' > AA'$ . Prosta poprowadzona przez punkt $S$ równolegle do $CC'$ przecina odcinki $OC$ i $OC'$ odpowiednio w punktach $D$ i $D'$ .

Trójkąty $ODD'$ i $OCC'$ są jednokładne w stosunku $1 \colon 3$ , a trójkąty $CSD$ i $CMO$ - jednokładne w stosunku $2 \colon 3$ , zachodzą więc równości:

$ \frac{DD'}{CC'} = \frac{OD}{OC} = \frac{SM}{CM} = \frac{1}{3}, \textrm{ skąd } \frac{DD'} = \frac{1}{3} CC' > \frac{1}{3} AA', $

oraz

$ \frac{DS}{OM} = \frac{CS}{CM} = \frac{2}{3}, \textrm{ skąd } DS= \frac{2}{3} OM= \frac{1}{3} AA', $

zatem

$ DS<DD', $

skąd wynika, że punkt $S$ leży między punktami $D$ i $D'$ .

Otóż $OD=OD'=\frac{1}{3} OC$ , tzn. punkty $D$ i $D'$ leżą na okręgu o środku $O$ i promieniu $\frac{1}{3} r$ , wobec czego punkt $S$ leży wewnątrz tego okręgu.

Uzyskaliśmy wynik: Miejscem geometrycznym środków ciężkości trójkątów ostrokątnych wpisanych w dany okrąg jest wnętrze okręgu o tym samym środku, a trzy razy mniejszym promieniu.

Uwaga. Łatwo zauważyć, że miejscem geometrycznym środków ciężkości trójkątów prostokątnych wpisanych w okrąg $O(r)$ *) jest okrąg $O \left( \frac{1}{3}r \right)$ . Stąd i z twierdzenia udowodnionego wynika twierdzenie: M. g. środków ciężkości trójkątów rozwartokątnych wpisanych w $O(r)$ jest wnętrze pierścienia kołowego ograniczonego okręgami $O(r)$ i $O\left( \frac{1}{3}r \right)$ .