XVII OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XVII OM, 1965-1966

Etap:

Na płaszczyźnie dany jest okrąg i punkt $M$ . Znaleźć na okręgu takie punkty $A$ i $B$ , żeby odcinek $AB$ miał daną długość $d$ , a kąt $AMB$ był równy danemu kątowi $\alpha$ .

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że $A$ i $B$ są punktami danego okręgu spełniającymi warunki $AB = d$ , $\measuredangle AMB = \alpha$ (rys. 5).

Obierzmy w danym okręgu dowolną cięciwę $CD$ o długości $d$ . Obróćmy trójkąt $AMB$ dokoła środka $O$ danego okręgu o kąt $HOK$ , gdzie $H$ i $K$ oznaczają środki cięciw $AB$ i $CD$ . Po obrocie punkt $A$ znajdzie się w punkcie $C$ , a punkt $B$ w punkcie $D$ lub na odwrót; punkt $M$ przejdzie na pewien punkt $N$ . Punkt $N$ a) leży na okręgu o środku $O$ i promieniu $OM$ , b) leży na takim łuku okręgu, którego końcami są punkty $C$ i $D$ i który mieści kąt wpisany $\alpha$ . Odwrotnie, jeżeli wyznaczymy punkt $N$ spełniający powyższe warunki a) i b), to obracając trójkąt $CND$ dokoła $O$ o kąt $NOM$ otrzymamy trójkąt $AMB$ , którego podstawa jest żądanym odcinkiem. Ponieważ są dwa łuki o końcach $C$ , $D$ mieszczące kąt wpisany $\alpha$ , więc zależnie od długości odcinka $OM$ liczba rozwiązań będzie równa $4$ , $3$ , $2$ , $1$ lub $0$ .