XVII OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XVII OM, 1965-1966

Etap:

Dane są liczby dodatnie $p$ i $q$ . Dowieść, że prostopadłościan, w którym suma krawędzi równa się $4p$ , a pole powierzchni równa się $2q$ , istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy $p^2 \geq 3q$ .

Rozwiązanie

a) Przypuśćmy, że żądany prostopadłościan istnieje. Istnieją zatem liczby $x$ , $y$ , $z$ spełniające równania

$ (1) \qquad x+y+z = p, $

$ (2) \qquad xy+yz+zx=q. $

W takim razie liczby $p$ i $q$ spełniają nierówność $p^2 \geq 3q$ , gdyż z (1) i (2) wynika, że

$ \begin{split} p^2-3q &= (x+y+z)^2-3(xy + yz + zx) =\\ &= x^2+y^2+z^2- xy-yz-zx=\\ &=\frac{1}{2} [(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 ] \geq 0. \end{split} $

b) Przypuśćmy, że dane liczby dodatnie $p$ i $q$ spełniają nierówność $p^2 \geq 3q.$

Wykażemy, że istnieją wówczas liczby dodatnie $x$ , $y$ , $z$ spełniające równania (1) i (2). Jeżeli $\sigma$ oznacza liczbę dodatnią mniejszą od $\frac{p}{3}$ , to liczby określone wzorami

$ (3) \qquad x= \frac{p}{3} -\sigma, y=\frac{p}{3}-\sigma, z=\frac{p}{3} + 2\sigma $

są dodatnie i spełniają równanie (1). Z równości (3) wynika, że

$ xy + yz + zx= \frac{p^2}{3} - 3\sigma^2. $

Biorąc $\sigma = \frac{1}{3} \sqrt{p^2-3q}$ stwierdzamy, że $0 < \sigma < \frac{p}{3}$ i że

$ xy + yz + zx=q. $

Wyznaczone w powyższy sposób liczby $x$ , $y$ , $z$ spełniają zatem także równanie (2), więc prostopadłościan o krawędziach $x$ , $y$ , $z$ ma żądane własności.