XVIII ZMPB - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XVIII ZMPB, 2007

W trójkącie $ABC$ odcinki $AD$ , $BE$ i $CF$ są wysokościami. Punkty $P$ , $Q$ , $R$ i $S$ spełniają następujące warunki:

$P$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ .
Długości odcinków $PQ$ , $QR$ i $RS$ są równe promieniowi okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ .
Odcinek zorientowany $PQ$ ma ten sam kierunek i zwrot, co odcinek zorientowany $AD$ . Podobnie, odcinek $QR$ ma ten sam kierunek i zwrot, co $BE$ , zaś odcinek $RS$ ma ten sam kierunek i zwrot, co $CF$ .

Wykazać, że punkt $S$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ .

Rozwiązanie

Punkt $P$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ , a długość odcinka $PQ$ jest równa promieniowi tego okręgu. Zatem punkt $Q$ leży na tym okręgu. Ponadto $PB=PC$ oraz prosta $PQ$ jest prostopadła do boku $BC$ . Jest ona więc jego symetralną, a to oznacza, że punkt $Q$ jest środkiem łuku $BC$ okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ nie zawierającego punktu $A$ (rys. 4). Wynika stąd, że punkt $Q$ leży na dwusiecznej kąta $\measuredangle CAB$ .

Udowodnimy, że punkt $S$ również leży na dwusiecznej kąta $\measuredangle CAB$ . W tym celu wystarczy wykazać, że prosta $QS$ jest równoległa do dwusiecznej tego kąta. Trójkąt $QRS$ jest równoramienny, więc stwierdzenie to sprowadza się do wykazania, że dwusieczne kątów $\measuredangle QRS$ i $\measuredangle CAB$ są prostopadłe. To zaś bezpośrednio wynika z faktu, że ramiona tych kątów są prostopadłe ( $QR\perp CA$ oraz $RS\perp AB$ ).

Wykażemy jeszcze, że punkt $S$ leży także na dwusiecznej kąta $\measuredangle ABC$ . Stąd otrzymamy, że punkt $S$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ .

Niech $T$ będzie takim punktem płaszczyzny, że czworokąt $PQRT$ jest równoległobokiem. Wówczas $PT\parallel QR\parallel BE$ oraz $TR\parallel PQ\parallel AD$ (równoległości te traktujemy jako równości kierunków i zwrotów odpowiednich odcinków skierowanych). Zatem odcinki skierowane $PT$ , $TR$ , $RS$ , których długości są równe promieniowi okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ , mają odpowiednio te same kierunki i zwroty, co odcinki skierowane $BE$ , $AD$ , $CF$ . Rozumując analogicznie jak w początkowej części rozwiązania dostajemy stąd, że punkt $S$ leży na dwusiecznej kąta $\measuredangle ABC$ , a tego dowodziliśmy.