XVII OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XVII OM, 1965-1966

Etap:

Udowodnić twierdzenie: Jeżeli współczynniki $a, b, c, d$ równania stopnia trzeciego $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ są liczbami całkowitymi, przy czym liczba $ad$ jest nieparzysta, a liczba $bc$ - parzysta, to równanie nie może mieć trzech pierwiastków wymiernych.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że dane równanie ma trzy pierwiastki wymierne $x_1, x_2, x_3$ . Przekształćmy równanie wprowadzając zamiast $x$ nową niewiadomą $y = ax$ , tzn. podstawiając do równania $\frac{y}{a}$ na miejsce $x$ .

Otrzymujemy równanie

$ (1) \qquad y^2 + by^2 + acy + a^2d = 0, $

którego pierwiastkami są liczby $y_1 = a_1x$ , $y_2 = ax_2$ , $y_3 = ax_3$ . Liczby te, jako iloczyny liczb wymiernych $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ przez liczbę całkowitą $a$ , są wymierne. Ponieważ w równaniu (1) współczynnik przy najwyższej potędze niewiadomej, tj. przy $y^3$ , jest równy $1$ , więc na mocy znanego twierdzenia wymierne pierwiastki tego równania, czyli $y_1$ , $y_2$ , $y_3$ , są liczbami całkowitymi.

Według wzorów Viete'a

$ (2) \qquad y_1 + y_2 + y_3 = -b, $

$ (3) \qquad y_1y_2 + y_2y_3 + y_3y_1 = ac, $

$ (4) \qquad y_1y_2y_3 = -a^2d. $

Z założenia, że iloczyn $ad$ liczb całkowitych $a$ i $d$ jest liczbą nieparzystą wynika, że $a$ i $d$ , zatem również $a^2d$ są liczbami nieparzystymi, skąd wobec równania (4) wnioskujemy, że $y_1$ , $y_2$ , $y_3$ są nieparzyste. W takim razie ze wzorów (2) i (3) wynika, że liczby $b$ i $ac$ są nieparzyste, wobec czego iloczyn $abc$ jest liczbą nieparzystą. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, że liczba $bc$ jest parzysta. Przypuszczenie, że dane równanie ma trzy pierwiastki wymierne, jest więc fałszywe.