Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XVII OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XXVII OM, 1975-1976

Etap:

I

W dany trójkąt wpisano dwa trójkąty w taki sposób, że wierzchołki jednego z nich są symetryczne do wierzchołków drugiego względem środków boków danego trójkąta. Udowodnić, że pola tych trójkątów są równe.

Rozwiązanie

Pole trójkąta o wierzchołkach $K$ , $L$ , $M$ będziemy oznaczali krótko symbolem $(KLM)$ .

Niech $(M_1,M_2)$ , $(N_1,N_2)$ , $(P_1, P_2)$ będą parami punktów leżących odpowiednio na bokach $BC$ , $CA$ , $AB$ trójkąta $ABC$ i symetrycznych względem środków tych boków (rys. 6).

Zadanie sprowadza się do wykazania, że sumy

$<br /> S_1 = (AP_1N_1)+(BM_1P_1) + (CN_1M_1)<br />$

$<br /> S_2 = (AP_2N_2)+(BM_2P_2) + (CN_2M_2)<br />$

są równe.

Według założenia $AP_1 = P_2B$ , $AN_1 = N_2C$ , więc

$<br /> AP_1 + AP_2 = AB, \quad AN_1 + AN_2 = AC.<br />$

Zatem

$<br /> \begin{split}<br /> 2(AP_1N_1) & = AP_1 \cdot AN_1 \sin A = (AB-AP_2) (AC-AN_2) \sin A = \\<br /> & = (AB \cdot AC - AB \cdot AN_2 - AC \cdot AP_2 + AP_2 \cdot AN_2) \sin A.<br /> \end{split}<br />$

Stąd

$<br /> (1) \qquad (AP_1N_1) = (ABC)-(ABN_2)-(CAP_2) + (AP_2N_2).<br />$

Analogicznie

$<br /> (2) \qquad (BM_1P_1)=(ABC) -(ABM_2)- (BCP_2)+(BM_2P_2),<br />$

$<br /> (3) \qquad (CM_1N_1)=(ABC)-(BCN_2)-(CAM_2)+(CN_2M_2).<br />$

Zauważmy, że

$<br /> (4) \qquad (ABM_2)+(CAM_2)=(BCN_2)+(ABN_2)=(CAP_2+BCP_2) = (ABC).<br />$

Dodając równości (1), (2), (i) stronami i uwzględniając (4) otrzymujemy

$<br /> S_1 = S_2.<br />$

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/1341