XVII OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XVII OM, 1965-1966

Etap:

W przestrzeni dane są trzy proste. Znaleźć prostą przecinającą je w takich punktach $A, B, C$ , że $\frac{AB}{BC}$ równa się danej liczbie dodatniej $k$ .

Rozwiązanie

Rozważmy najpierw przypadek, gdy dane trzy proste są parami skośne, a przy tym nie leżą w trzech płaszczyznach wzajemnie równoległych.

Oznaczmy dane proste literami $a$ , $b$ , $c$ i niech $l$ będzie prostą przecinającą je odpowiednio w takich punktach $A$ , $B$ , $C$ , że $\frac{AB}{BC}=k$ .

Niech $\alpha$ i $\gamma$ będą płaszczyznami równoległymi przechodzącymi odpowiednio przez proste $a$ i $c$ ; wiadomo, że taka para płaszczyzn istnieje i to tylko jedna. Zauważmy, że punkt $B$ jest takim punktem prostej $b$ , którego odległości od płaszczyzn $\alpha$ i $\gamma$ są w stosunku $\frac{AB}{BC}=k$ i że $l$ jest prostą przecięcia płaszczyzn przechodzących przez punkt $B$ i zawierających proste $a$ i $c$ .

Z powyższej analizy wysnuwamy następującą konstrukcję (rys. 7)

Oznaczywszy dane proste w dowolny sposób literami $a$ , $b$ , $c$ prowadzimy płaszczyzny równoległe $\alpha$ i $\gamma$ przechodzące odpowiednio przez proste $a$ i $c$ *). Prowadzimy następnie taką płaszczyznę $\beta$ równoległą do $\alpha$ i $\gamma$ , której odległości od płaszczyzn $\alpha$ i $\gamma$ są w stosunku $k$ .

Płaszczyzna $\beta$ przecina prostą $b$ w pewnym punkcie $B$ , gdyż według założenia prosta $b$ nie leży w płaszczyźnie równoległej do $\alpha$ i $\gamma$ . Przez punkt $B$ prowadzimy płaszczyzny $\alpha_1$ i $\gamma_1$ zawierające odpowiednio proste $a$ i $c$ ; przecinają się one według prostej, którą oznaczymy literą $l$ . Prosta $l$ przecina proste $a$ i $c$ odpowiednio w pewnych punktach $A$ i $C$ ; gdyby bowiem była do którejś z nich równoległa, to leżałaby w płaszczyźnie $\beta$ , więc byłaby równoległa i do drugiej, wbrew założeniu, że $a$ i $c$ są skośne. Ponieważ odcinki $AB$ i $BC$ są proporcjonalne do odległości punktu $B$ od płaszczyzn $\alpha$ i $\gamma$ , więc $\frac{AB}{BC} = k$ , tzn. trójka punktów $A$ , $B$ , $C$ jest rozwiązaniem zadania.

Konstrukcja jest zawsze wykonalna. Gdy $k \ne 1$ , płaszczyzna $\beta$ może mieć jedno z dwóch położeń: w warstwie między płaszczyznami $\alpha$ i $\gamma$ lub na zewnątrz tej warstwy. Przy obranym oznaczeniu danych prostych istnieją zatem dwa rozwiązania. Ponieważ mamy $6$ sposobów oznaczenia danych prostych literami $a$ , $b$ , $c$ , więc zadanie ma $12$ rozwiązań. Należy jednak zauważyć, że są takie wartości stosunku $k$ , przy których pewne z tych rozwiązań są jednakowe w tym znaczeniu, że składają się z tych samych punktów tylko inaczej nazwanych. Łatwo sprawdzić, że zachodzi to w przypadku tak zwanego złotego podziału odcinka. Mianowicie, gdy $k= \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ i trójka punktów $A$ , $B$ , $C$ jest rozwiązaniem zadania, wtedy $\frac{AB}{BC}= \frac{BC}{AC}$ lub $\frac{AB}{BC}= \frac{AC}{AB}$ zależnie od tego, czy punkt $B$ , czy też punkt $A$ leży między dwoma pozostałymi. W pierwszym przypadku z rozwiązania $A$ , $B$ , $C$ otrzymujemy inne rozwiązanie oznaczając te punkty literami $C$ , $A$ , $B$ , w drugim przypadku przemianowujemy je na $B$ , $C$ , $A$ . Podobnie gdy $k=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ , wtedy z rozwiązania $A$ , $B$ , $C$ otrzymujemy inne rozwiązanie zmieniając nazwy punktów na $B$ , $C$ , $A$ , gdy $B$ leży między $A$ i $C$ , a na $C$ , $A$ , $B$ , gdy $C$ leży między $A$ i $B$ . W pierwszym przypadku jest bowiem $\frac{AB}{BC}= \frac{AC}{AB}$ , w drugim zaś $\frac{AB}{BC}= \frac{BC}{AC}$ . W każdym z tych dwóch przypadków wśród $12$ rozwiązań jest tylko $6$ różnych trójek punktów.

Gdy $k=1$ , rozwiązań jest $6$ , ale przedstawiają one tylko $3$ różne trójki punktów. Mianowicie z każdego rozwiązania $A$ , $B$ , $C$ otrzymuje się inne rozwiązanie zmieniając nazwy punktów na $C$ , $B$ , $A$ .

Dla innych przypadków wzajemnego położenia danych prostych rozwiązanie zadania jest bardzo łatwe; ograniczymy się do krótkich objaśnień proponując czytelnikowi szczegółowe uzasadnienie podanych twierdzeń.

Gdy dane proste są parami skośne i leżą w trzech płaszczyznach równoległych, zadanie ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy odległości jednej z tych płaszczyzn od dwóch pozostałych są w stosunku $k$ ; rozwiązań jest wówczas nieskończenie wiele.

Gdy dwie dane proste - nazwijmy je $m$ i $n$ - leżą w jednej płaszczyźnie, a trzecia prosta $p$ jest do każdej z nich skośna, rozwiązanie może istnieć tylko wtedy, gdy $p$ przecina płaszczyznę prostych $m$ i $n$ w pewnym punkcie $P$ . Jeżeli proste $m$ i $n$ przecinają się i $k \ne 1$ , rozwiązań jest $12$ , przy czym dla $k = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ oraz dla $k = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ rozwiązania te tworzą tylko $6$ różnych trójek punktów; jeżeli zaś $k=1$ , rozwiązań jest $6$ , a wśród nich tylko trzy są rożnymi trójkami punktów. Jeżeli proste $m$ i $n$ są równoległe, rozwiązania istnieją tylko wówczas, gdy stosunek dwóch spośród liczb $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ , gdzie $\lambda$ jest odległością prostych $m$ i $n$ , a $\mu$ i $\nu$ - odległościami punktu $P$ od $m$ i $n$ , równa się liczbie $k$ ; jeśli taki przypadek zachodzi, rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Gdy para danych prostych leży w jednej płaszczyźnie, a inna para w innej płaszczyźnie, rozwiązań nie ma.

Gdy wszystkie trzy proste leżą w jednej płaszczyźnie, ale nie są parami równoległe, rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Gdy wreszcie dane proste leżą w jednej płaszczyźnie i są parami równoległe, rozwiązanie istnieje tylko wówczas, gdy odległości jednej z tych prostych od dwóch pozostałych są w stosunku $k$ ; gdy ten przypadek zachodzi, rozwiązań jest nieskończenie wiele.