XVII OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

XVII OM, 1965-1966

Etap:

Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie

$ (1) \qquad x+y+z=xyz. $

Rozwiązanie

Wystarczy wyznaczyć takie rozwiązania równania (1) w liczbach naturalnych, że

$ (2) \qquad x \leq y \leq z. $

Wszystkie pozostałe rozwiązania znajdziemy wówczas tworząc permutacje znalezionych wartości $x$ , $y$ , $z$ .

\spos{1} Przypuśćmy, że liczby naturalne $x$ , $y$ , $z$ spełniają równanie (1) i warunek (2). Wówczas

$ x+y+z \leq 3z,\textrm{ zatem } xyz \leq 3z,\textrm{ stąd } xy \leq 3 \textrm{ i } x^2 \leq 3, $

wobec czego $x = 1$ ; z równości (1) otrzymujemy

$ 1 + y+z = yz,\textrm{ stąd } yz-y-z+1 = 2,\textrm{ więc } (y- 1)(z-1) = 2, $

skąd wnioskujemy, że $y=2$ , $z = 3$ .

Trójka liczb $(1, 2, 3)$ jest rozwiązaniem zadania. Pozostałymi rozwiązaniami są trójki $(1, 3, 2)$ , $(2, 1, 3)$ , $(2, 3, 1)$ , $(3, 1, 2)$ , $(3, 2, 1)$ .

Uwaga. Zadanie można uogólnić pytając o wszystkie rozwiązania równania (1) w liczbach całkowitych.

Zauważmy najpierw, że równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań całkowitych, w których jedna z niewiadomych otrzymuje wartość zero; dwie pozostałe są wtedy liczbami przeciwnymi, np. $x=0$ , $y=-z$ - dowolna liczba całkowita.

Trzeba zatem wyznaczyć jeszcze tylko te rozwiązania całkowite równania (1), w których wartości niewiadomych są różne od zera, a przynajmniej jedna z nich jest ujemna.

Niech $(x, y, z)$ będzie takim rozwiązaniem; wówczas $( - x, -y, -z)$ też jest rozwiązaniem równania (1). Rozróżniamy następujące przypadki.

a) Tylko jedna z liczb $x$ , $y$ , $z$ jest ujemna; niech np. $x<0$ , $y>0$ , $z>0$ ; równość (1) możemy napisać w postaci

$ (1a) \qquad y+z=x(yz-1). $

Równość (1a) zachodzić jednak nie może, gdyż lewa jej strona jest liczbą dodatnią, prawa zaś, jako iloczyn liczby ujemnej przez nieujemną (gdyż $yz \geq 1$ ), nie jest liczbą dodatnią. Równanie (1) nie ma zatem rozwiązań typu a).

b) Dwie spośród liczb $x$ , $y$ , $z$ są ujemne, a trzecia jest dodatnia, np. $x>0$ , $y<0$ , $z<0$ ; wówczas $-x<0$ , $-y>0$ , $- z>0$ , tzn. równanie (1) ma rozwiązanie typu a), co jest niemożliwe. Przypadek b) zachodzić nie może.

c) $x < 0$ , $y < 0$ , $z < 0$ ; wówczas trójka liczb $(-x, -y, -z)$ jest rozwiązaniem równania (1) w liczbach naturalnych, więc składa się z liczb $1$ , $2$ , $3$ . Rozwiązaniem typu c) równania (1) jest więc trójka liczb $(-1, -2, -3)$ oraz jej permutacje.