XVII OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XVII OM, 1965-1966

Etap:

Zadanie 10.
Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $a, b, c$ spełniają, nierówności

$ (1) \quad a+b+c>0 \quad \text{ i } \quad (2) \quad abc>0, $

to dla każdego naturalnego $n$ zachodzi nierówność

$ (3) \qquad a^n + b^n + c^n > 0. $

Rozwiązanie

Z założenia (2) wynika, że liczby $a$ , $b$ , $c$ są albo wszystkie dodatnie, albo jedna jest dodatnia, a dwie są ujemne. W pierwszym przypadku teza (3) jest oczywista, wystarczy więc przeprowadzić dowód zakładając, że np. $a>0$ , $b<0$ , $c<0$ , ograniczając się przy tym do nieparzystych wartości $n$ , gdyż dla $n$ parzystego nierówność (3) jest oczywiście prawdziwa.