XVII OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XVII OM, 1965-1966

Etap:

Dowieść, że środki kół dopisanych trójkąta i punkty symetryczne do środka koła wpisanego w ten trójkąt względem jego wierzchołków leżą na jednym okręgu.

Rozwiązanie

Niech $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ będą punktami symetrycznymi do środka $O$ koła wpisanego w trójkąt $ABC$ odpowiednio względem wierzchołków $A$ , $B$ , $C$ , a $S_1$ środkiem koła dopisanego trójkąta $ABC$ , które jest styczne do boku $BC$ (rys. 8). Dla dowodu twierdzenia wystarczy stwierdzić, że punkty $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ i $S_1$ leżą na jednym okręgu. Ponieważ $C_1$ i $S_1$ leżą po jednej stronie prostej $A_1B_1$ , mianowicie po tej samej stronie prostej $A_1B_1$ co trójkąt $ABC$ , więc sprowadza się to do wykazania, że $\measuredangle A_1S_1B_1= \measuredangle A_1C_1B_1$ . Zauważmy, że

a) Trójkąty $A_1B_1C_1$ i $ABC$ są jednokładne względem punktu $O$ , więc

$ \measuredangle A_1C_1B_1= \measuredangle ACB=2 \measuredangle OCB. $

b) Proste $BS_1$ i $CS_1$ jako dwusieczne kątów zewnętrznych trójkąta $ABC$ są prostopadłe do dwusiecznych $OB$ i $OC$ odpowiednich kątów tego trójkąta; punkty $B$ , $O$ , $C$ , $S_1$ jako wierzchołki czworokąta o dwóch kątach prostych leżą na jednym okręgu, przy czym punkty $C$ i $S_1$ leżą po tej samej stronie prostej $OB$ , zatem

$ \measuredangle OCB=\measuredangle OS_1B. $

c) Prosta $BS_1$ jest symetralną odcinka $OB_1$ , więc

$ \measuredangle A_1S_1B_1= \measuredangle OS_1B_1=2 \measuredangle OS_1B. $

Z a), b) , c) wynika, że

$ \measuredangle A_1S_1B_1= \measuredangle A_1C_1B_1,\textrm{ c.n.d.} $

Uwaga. Twierdzenie, które udowodniliśmy, jest równoważne twierdzeniu:

Punkty symetryczne do punktu przecięcia wysokości trójkąta $S_1S_2S_3$ względem boków tego trójkąta leżą na okręgu opisanym na trójkącie $S_1S_2S_3$ *).

Aby tego dowieść, wystarczy zauważyć, że jeżeli $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ są środkami kół dopisanych trójkąta $ABC$ , a $O$ - środkiem koła wpisanego w trójkąt $ABC$ , to punkt $O$ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta $S_1S_2S_3$ , a punkty $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ - symetryczne do $O$ względem punktów $A$ , $B$ , $C$ - są zarazem punktami symetrycznymi do $O$ względem boków trójkąta $S_1S_2S_3$ . Odwrotnie, jeżeli $O$ jest punktem przecięcia wysokości danego trójkąta $S_1S_2S_3$ , a $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ - punktami symetrycznymi do $O$ względem boków tego trójkąta, to są one jednocześnie punktami symetrycznymi do $O$ względem wierzchołków $A$ , $B$ , $C$ trójkąta ,,spodkowego'' dla trójkąta $S_1S_2S_3$ , a $O$ jest środkiem koła wpisanego w trójkąt $ABC$ .