XVII OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XVII OM, 1965-1966

Etap:

Udowodnić twierdzenie: Jeżeli suma kątów płaskich przy wierzchołku ostrosłupa prawidłowego jest równa $180^{\circ}$ , to w tym ostrosłupie środek kuli opisanej pokrywa się ze środkiem kuli wpisanej.

Rozwiązanie

Wprowadzimy oznaczenia: $AB$ - krawędź podstawy danego ostrosłupa prawidłowego, $S$ - jego wierzchołek, $H$ - rzut punktu $S$ na podstawę, $O$ - środek kuli opisanej na ostrosłupie, $M$ - środek okręgu opisanego na trójkącie $ASB$ (rys. 9).

Dla dowodu twierdzenia wystarczy stwierdzić, że odległość $OM$ punktu $O$ od ściany bocznej $ASB$ jest równa odległości $OH$ punktu $O$ od płaszczyzny podstawy ostrosłupa.

Według założenia $\measuredangle ASB = \frac{180^\circ}{n}$ gdzie $n$ oznacza liczbę krawędzi podstawy, a $\measuredangle AHB = \frac{360^\circ}{n}$ , zatem $\measuredangle AHB = 2 \measuredangle ASB$ .

W okręgu opisanym na trójkącie $ASB$ kąt $AMB$ jest kątem środkowym, więc $\measuredangle AMB = 2 \measuredangle ASB$ , wobec czego $\measuredangle AHB = \measuredangle AMB$ . Trójkąty równoramienne $AHB$ i $AMB$ są zatem przystające, $AH = AM$ . Z równości $OS = AO$ i $MS = AM = AH$ wynika przystawanie trójkątów prostokątnych $OSM$ i $AOH$ , skąd $OM = OH$ , c.n.d.