XVII OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XVII OM, 1965-1966

Etap:

Na płaszczyźnie obrano 6 punktów, z których żadne 3 nie leżą na jednej prostej i wykreślono wszystkie odcinki łączące parami te punkty. Niektóre z odcinków wykreślono przy tym kolorem czerwonym, a inne niebieskim. Dowieść, że któreś trzy z danych punktów są wierzchołkami trójkąta o bokach jednego koloru.

Rozwiązanie

Niech $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , $A_4$ , $A_5$ , $A_6$ będą danymi punktami. Wśród pięciu odcinków $A_1A_i$ ( $i = 2, 3, 4, 5, 6$ ) co najmniej trzy są jednego koloru. Przypuśćmy na przykład, że odcinki $A_1A_2$ , $A_1A_3$ , $A_1A_4$ są czerwone i weźmy pod uwagę odcinki $A_2A_3$ , $A_3A_4$ , $A_4A_2$ . Jeżeli te odcinki są wszystkie trzy niebieskie, mamy trójkąt $A_2A_3A_4$ jednego koloru. Jeśli zaś któryś z tych odcinków, np. $A_2A_3$ jest czerwony, to trójkąt $A_1A_2A_3$ jest jednego koloru.

Dla mniejszej liczby danych punktów teza twierdzenia nie jest prawdziwa. Na przykład w pięciokącie wypukłym, którego wszystkie boki są czerwone, a wszystkie przekątne - niebieskie, każde trzy wierzchołki kolejne tworzą trójkąt o dwóch bokach czerwonych a jednym niebieskim, każde zaś trzy wierzchołki niekolejne tworzą trójkąt, którego dwa boki są niebieskie, a trzeci jest czerwony.