XVII OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XVII OM, 1965-1966

Etap:

Dowieść, że jeżeli liczby naturalne $a$ i $b$ spełniają równanie $a^2+a = 3b^2$ , to liczba $a+1$ jest kwadratem liczby całkowitej.

Rozwiązanie

Niech równość $b = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \ldots p_s^{\alpha_s}$ przedstawia rozkład liczby $b$ na czynniki pierwsze. Według założenia zachodzi równość

$ (1) \qquad a(a+1)= 3 p_1^{2\alpha_1} p_2^{2\alpha_2} \ldots p_s^{2\alpha_s}. $

Liczby $a$ i $a+1$ są względnie pierwsze, gdyż każdy wspólny dzielnik tych liczb jest dzielnikiem liczby $(a+1)-a=1$ . Wobec tego każdy z czynników $3, p_1^{\alpha_1}, p_2^{\alpha_2}, \ldots, p_s^{\alpha_s}$ prawej strony równości (1) jest dzielnikiem jednej i tylko jednej z liczb $a$ i $a+1$ . Zachodzi więc jeden z przypadków:

$ \begin{array}{ccc} \alpha) & a=p^2, & a+1 = 3q^2,\\ \beta) & a=3p^2, & a+1 = q^2, \end{array} $

gdzie $p$ i $q$ oznaczają liczby naturalne spełniające równanie $p^2q^2=b^2$ .

W przypadku $\alpha$ ) byłoby $3q^2-p^2=1$ , więc $p^2 \equiv 2 (\bmod 3$ ), co jest niemożliwe, gdyż kwadrat liczby naturalnej daje w dzieleniu przez $3$ resztę $0$ lub $1$ .

Zachodzi więc przypadek $\beta$ ), tzn. $a+1$ jest kwadratem liczby całkowitej, c.n.d.

Uwaga. Z udowodnionego wyżej twierdzenia wynika, że jeżeli liczby naturalne $a$ i $b$ spełniają równanie $a^2-a=3b^2$ , to $a$ jest kwadratem liczby całkowitej. Albowiem $a^2-a = a_1^2 + a_1$ gdzie $a_1=a- 1$ .