XVII OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XVII OM, 1965-1966

Etap:

Dowieść, że suma kwadratów prostokątnych rzutów boków trójkąta na prostą $p$ płaszczyzny tego trójkąta wtedy i tylko wtedy nie zależy od położenia prostej $p$ , gdy trójkąt jest równoboczny.

Rozwiązanie

Niech $S$ oznacza sumę kwadratów prostokątnych rzutów boków trójkąta równobocznego $ABC$ o długości boku $a$ na prostą $p$ leżącą w płaszczyźnie trójkąta. Ponieważ rzuty odcinka na proste równoległe są równe, więc dla obliczenia $S$ możemy przyjąć, że prosta $p$ przechodzi przez jeden z wierzchołków trójkąta, np. $A$ i ma punkt wspólny $D$ z bokiem przeciwległym, tj. z $BC$ (rys. 11). Niech $\measuredangle BAD= \delta$ , wówczas $\measuredangle CAD = 60^\circ- \delta$ , a $\measuredangle ADC=60^\circ + \delta$ .

Rzuty boków $AB$ , $BC$ , $AC$ na prostą $p$ są odpowiednio równe $a \cos \delta$ , $a \cos (60^\circ-\delta)$ , $a |\cos(60^\circ+\delta)|$ , zatem

$ \begin{split} S &= a^2 [\cos^2 \delta + \cos^2 (60^\circ - \delta)+ \cos^2 (60^\circ + \delta)] =\\ &= a^2[\cos^2 \delta+2 \cos^2 60^\circ \cos^2 \delta +2 \sin^2 60^\circ \sin^2 \delta], \end{split} $

a ponieważ $\cos 60^\circ= \frac{1}{2}$ , $\sin 60^\circ= \frac{1}{2} \sqrt{3}$ , więc

$ S = \frac{3}{2} a^2. $

Okazało się, że wartość $S$ nie zależy od $\delta$ , a tym samym od położenia prostej $p$ .

Załóżmy z kolei, że dany trójkąt $ABC$ nie jest równoboczny.

Niech np. $AC>BC$ , wówczas $h_A>h_B$ , gdzie $h_A=AD$ , $h_B=BE$ (rys. 12) są wysokościami trójkąta poprowadzonymi odpowiednio z wierzchołków $A$ i $B$ .

Oznaczając literami $S'$ i $S''$ sumy kwadratów rzutów boków trójkąta odpowiednio na proste $AD$ i $BE$ , obliczamy łatwo, że

$ S'=2h_A^2,\ S''=2h_B^2,\textrm{ wobec czego } S'>S''. $

Wykazaliśmy, że jeżeli trójkąt jest nierównoboczny, to suma kwadratów rzutów boków trójkąta na prostą $p$ leżącą w płaszczyźnie trójkąta, zależy od położenia prostej $p$ .