XVII OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XVII OM, 1965-1966

Etap:

III

Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie

$ (1) \qquad x^4 + 4y^4 = 2(z^4+4u^4). $

Rozwiązanie

Równanie (1) ma oczywiście rozwiązanie $(0,0,0,0)$ . Wykażemy, że jest to jedyne rozwiązanie tego równania w liczbach całkowitych.

\spos{1} Dowód oprzemy na następującym lemacie:

Jeżeli $k_1, k_2,\ldots, k_n$ są różnymi liczbami naturalnymi, a $x_1, x_2,\ldots, x_n$ liczbami całkowitymi niepodzielnymi przez liczbę naturalną $c$ , to

$ (2) \qquad c^{k_1}x_1 + c^{k_2}x_2+ \ldots c^{k_n} x_n \ne 0. $

Dowód tej nierówności jest bardzo prosty. Niech najmniejszą z liczb $k_i$ ( $i = 1,2,\ldots ,n$ ) będzie na przykład $k_1$ . Zachodzi równość

$ c^{k_1}x_1 + c^{k_2} x_2+ \ldots +c^{k_n}x_n= c^{k_1}(x_1 + c^{k_2-k_1} x_2+ \ldots +c^{k_n-k_1}x_n. $

Wyrażenie znajdujące się w nawiasie po prawej stronie tej równości jest sumą, której wszystkie wyrazy oprócz pierwszego są podzielne przez $c$ , gdyż $k_i-k_1>0$ dla $i \ne 1$ , pierwszy zaś wyraz według założenia nie jest podzielny przez $c$ . Suma ta jest wobec tego różna od zera, a że również $c \ne 0$ , więc zachodzi (2).

Przypuśćmy, że liczby całkowite $x$ , $y$ , $z$ , $u$ stanowią rozwiązanie równania (1). Istnieją takie liczby naturalne $k$ , $l$ , $m$ , $n$ , że

$[ x=2^kx_1, \ y=2^ly_1, \ z=2^mz_1,\ u=2^nu_1, $

gdzie każda z liczb $x_1$ , $y_1$ , $z_1$ , $u_1$ jest liczbą nieparzystą lub zerem.. Po podstawieniu tych wartości do równania (1) możemy równaniu temu nadać postać:

$ (3) \qquad 2^{4k} x_1^4 + 2^{4l+2} y_1^4 - 2^{4m+1}z_1^4 - 2^{4n+3}u_1^4=0. $

Liczby $4k$ , $4l+2$ , $4m+1$ , $4n+3$ są różne, gdyż dają różne reszty w dzieleniu przez $4$ , zatem $x_1 = y_1 = z_1 = u_1 = 0$ ; gdyby bowiem pewne z tych liczb były różne od zera, to byłyby liczbami nieparzystymi i równość (3) byłaby sprzeczna z poprzednim lematem.