XVII OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XVII OM, 1965-1966

Etap:

III

Dowieść, że gdy $k, m, n$ , są dowolnymi liczbami całkowitymi nieujemnymi, to wielomian

$<br /> P(x) = x^{3k+2} + x^{3m+1} + x^{3n}<br />$

jest podzielny przez wielomian $x^2 + x + 1$ .

Rozwiązanie

Dla całkowitego nieujemnego $p$ różnica $x^{3p}- 1= (x^3)p- 1$ jest podzielna przez $x^3- 1$ , a tym samym przez $x^2+x+1$ . Zatem różnica

$<br /> P(x) - (x^2+x+1) = x^2(x^{3k}-1) + x(x^{3m}- 1)+x^{3n}-1<br />$

jest podzielna przez $x^2+x+1$ . Stąd wynika, że wielomian $P(x)$ jest podzielny przez $x^2+x+1$ .