XVII OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XVII OM, 1965-1966

Etap:

III

Udowodnić, że suma kwadratów pól prostokątnych rzutów ścian prostopadłościanu na jedną płaszczyznę nie zależy od położenia tej płaszczyzny wtedy i tylko wtedy, gdy prostopadłościan jest sześcianem.

Rozwiązanie

Niech $\delta$ oznacza sumę kwadratów pól prostokątnych rzutów prostopadłościanu na płaszczyznę $\pi$ .

Gdy $\pi$ jest płaszczyzną jednej ze ścian prostopadłościanu, suma $\sigma$ równa się podwojonemu kwadratowi pola tej ściany. Jeżeli prostopadłościan nie jest sześcianem, któreś dwie jego ściany mają pola różne, więc przy rzutowaniu na płaszczyzny tych ścian odpowiednie wartości sumy $\sigma$ są różne.

Dowiedziemy, że dla sześcianu o krawędzi $a$ wartość $\sigma$ nie zależy od położenia płaszczyzny $\pi$ , a mianowicie, że przy każdym położeniu tej płaszczyzny $\sigma = 2a^4$ .

Gdy płaszczyzna $\pi$ jest równoległa do dwóch przeciwległych ścian sześcianu, teza $\sigma=2a^4$ jest oczywista. Założymy, że ten przypadek nie zachodzi. Niech $ABCD$ będzie jedną ze ścian sześcianu. Rzut prostokątny którejkolwiek ściany sześcianu na płaszczyznę $\pi$ można otrzymać rzutując najpierw tę ścianę na płaszczyznę $ABCD$ w kierunku prostopadłym do $\pi$ , a następnie rzutując otrzymany równoległobok w tymże kierunku na płaszczyznę $\pi$ .

Niech $\alpha$ oznacza kąt nachylenia płaszczyzny $ABCD$ do płaszczyzny $\pi$ . Pod takim samym kątem krawędź $AE$ sześcianu jest nachylona do prostopadłej do płaszczyzny $\pi$ poprowadzonej z punktu $E$ (rys. 14).

Rzut $AE'$ odcinka $AE$ na płaszczyznę $ABCD$ w kierunku prostopadłym do $\pi$ ma długość $a \tg \alpha$ . Rzuty ścian $ABCD$ , $ABFE$ i $ADHE$ sześcianu schodzących się w wierzchołku $A$ na płaszczyznę $ABCD$ mają odpowiednio pola $a^2$ , $a^2\tg \alpha \sin \beta$ i $a^2\tg \alpha \sin \delta$ ;, gdzie $\beta$ i $\delta$ oznaczają kąty, jakie odcinek $AE'$ tworzy z odcinkami $AB$ i $AD$ . Pomiędzy $\beta$ i $\delta$ zachodzi - zależnie od położenia punktu $E'$ - jeden ze związków $\beta + \delta=90^\circ$ , $\beta + \delta=270^\circ$ lub $|\beta - \delta| = 90^\circ$ ; w każdym z tych przypadków $\sin \delta=|\cos \beta|$ .