XVII OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XVII OM, 1965-1966

Etap:

III

Dany jest sześciokąt wypukły $ABCDEF$ , w którym każda z przekątnych $AD, BE, CF$ dzieli sześciokąt na dwie części o równych polach. Dowieść, że te trzy przekątne przechodzą przez jeden punkt.

Rozwiązanie

\spos{1} Pole wielokąta $ABC\ldots$ oznaczać będziemy symbolem $(ABC\ldots)$ . Według założenia (rys. 15)

$ (1) \qquad (ABCD)= \frac{1}{2} (ABCDEF) = (BCDE). $

Otóż

$ (2) \qquad (ABCD) = (ABD)+(DBC),\ (BCDE)=(EBD)+(DBC). $

Z (1) i (2) otrzymujemy

$ (ABD) = (EBD), $

skąd wynika, że $AE \parallel BD$ , gdyż wierzchołki $A$ i $E$ trójkątów $ABD$ i $EDB$ o wspólnym boku $BD$ leżą po tej samej stronie prostej $BD$ .

Analogicznie $AC \parallel DF$ i $CE \parallel BF$ . Trójkąty $ACE$ i $DFB$ mają boki odpowiednio równoległe, więc według twierdzenia o trójkątach jednokładnych proste $AD$ , $BE$ , $CF$ , zawierające pary odpowiadająych sobie wierzchołków obu trójkątów, przechodzą przez jeden punkt.