XVIII ZMPB - Zadanie 13

Zawody matematyczne:

XVIII ZMPB, 2007

Niech $t_1$ , $t_2$ , $\ldots$ , $t_k$ będą różnymi prostymi w przestrzeni ( $k>1$ ). Udowodnić, że istnieją takie punkty $P_i$ na $t_i$ ( $i=1,2,\ldots,k$ ), że $P_{i+1}$ jest rzutem prostokątnym $P_i$ na prostą $t_{i+1}$ ( $i=1,2,\ldots,k-1$ ), a $P_1$ jest rzutem prostokątnym $P_k$ na prostą $t_1$ .}

Rozwiązanie

Niech $\pi_1$ będzie odwzorowaniem o dziedzinie $t_1$ i przeciwdziedzinie $t_2$ , które dowolnemu punktowi $P\in t_1$ przyporządkowuje punkt $\pi_1(P)\in t_2$ będący rzutem prostokątnym punktu $P$ na prostą $t_2$ . Analogicznie określamy odwzorowania $\pi_2:t_2\to t_3$ , $\pi_3:t_3\to t_4$ , $\ldots$ , $\pi_k:t_k\to t_1$ .

Przy tych oznaczeniach tezę zadania można sformułować następująco: istnieją takie punkty $P_1$ , $P_2$ , $\ldots$ , $P_k$ leżące odpowiednio na $t_1$ , $t_2$ , $\ldots$ , $t_k$ , że

$ \pi_1(P_1)=P_2,\quad \pi_2(P_2)=P_3,\quad\ldots\quad \pi_k(P_k)=P_1. (1) \qquad $

Niech $\pi$ oznacza złożenie $\pi_k\circ\pi_{k-1}\circ\ldots\circ \pi_2\circ\pi_1$ . Zatem $\pi$ jest odwzorowaniem $\pi:t_1\to t_1$ . Wykażemy, że odwzorowanie $\pi$ ma punkt stały, czyli że istnieje punkt $P_1\in t_1$ , dla którego zachodzi równość $\pi(P_1)=P_1$ .

Wprowadźmy na każdej prostej $t_i$ ( $i=1,2,\ldots,k$ ) strukturę osi liczbowej w taki sposób, by na każdej z tych prostych punkty $0$ i $1$ były punktami przestrzeni odległymi od siebie o $1$ . Zatem punktom każdej z prostych $t_1$ i $t_2$ odpowiadają wzajemnie jednoznacznie wszystkie liczby rzeczywiste; w języku tych liczb odwzorowanie $\pi_2$ można opisać wzorem $x\mapsto ax+b$ , gdzie współczynnik $a$ jest cosinusem kąta pomiędzy wektorem zawartym w prostej $t_1$ o początku $0$ i końcu $1$ a wektorem zawartym w prostej $t_2$ o początku $0$ i końcu $1$ . Wynika stąd, że $|a|\le 1$ , przy czym równość $|a|=1$ oznacza, że proste $t_1$ i $t_2$ są równoległe.

Rozpatrując analogicznie pozostałe odwzorowania $\pi_2$ , $\pi_3$ , $\ldots$ , $\pi_k$ oraz zauważając, że złożenie przekształceń postaci $x\to ax+b$ jest również przekształceniem tej postaci, przy czym odpowiednie współczynniki $a$ mnożą się, dochodzimy do wniosku, że odwzorowanie $\pi:t_1\to t_1$ daje się opisać wzorem $x\to Ax+B$ . Przy tym $|A|\le 1$ , a równość $A=1$ jest możliwa tylko w przypadku, gdy wszystkie proste $t_1$ , $t_2$ , $\ldots$ , $t_k$ są równoległe.

Przypuśćmy, że $A=1$ , czyli proste $t_1$ , $t_2$ , $\ldots$ , $t_k$ są równoległe. Wybierzmy dowolny punkt $P\in t_1$ i rozważmy jego rzut prostokątny $P'$ na prostą $t_2$ . Punkty $P$ i $P'$ leżą wówczas na jednej płaszczyźnie prostopadłej do prostych $t_1$ , $t_2$ . Ponadto punkt $P''$ będący rzutem prostokątnym punktu $P'$ na prostą $t_3$ leży na tej płaszczyźnie, rzut prostokątny punktu $P''$ na prostą $t_4$ leży w tej płaszczyźnie itd.; to zaś oznacza, że $\pi$ jest odwzorowaniem stałym.

Jeżeli natomiast $A\ne 1$ , to równanie $x=Ax+B$ ma dokładnie jedno rozwiązanie, mianowicie liczbę $x=B/(1-A)$ . Punkt $P_1$ odpowiadający tej liczbie na prostej $t_1$ jest wówczas punktem stałym odwzorowania $\pi$ .

Zatem odwzorowanie $\pi:t_1\to t_1$ ma punkt stały $P_1$ . Określmy

$ P_2=\pi_1(P_1),\quad P_3=\pi_2(P_2),\quad\ldots,\quad P_k=\pi_{k-1}(P_{k-1}); $

by sprawdzić, że wszystkie równości (1) są spełnione, brakuje tylko zależności $P_1=\pi_k(P_k)$ . Jest ona jednak prawdziwa, gdyż

$ \begin{split} \pi_k(P_k)&=\pi_k(\pi_{k-1}(P_{k-1}))=\ldots= \pi_k(\pi_{k-1}(\ldots \pi_2(\pi_1(P_1))\ldots))=\cr &=(\pi_k\circ\ldots\circ\pi_2\circ\pi_1)(P_1)=\pi(P_1)=P_1. \end{split} $

To kończy rozwiązanie.