XVI OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XVI OM, 1964-1965

Etap:

Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a, b, c$

$ a^2bc + ab^2c + abc^2 \leq a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2. $

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenia: $bc = u$ , $ca = v$ , $ab = w$ . Twierdzenie, które mamy udowodnić, otrzymuje postać prostszą:

$ vw + uw + uv \leq w^2 + u^2 + v^2 $

lub

$ u^2 + v^2 + w^2 - uv - vw - uw \geq 0. $

Nierówność powyższa jest prawdziwa, gdyż

$ u^2 + v^2 + w^2 - uv - vw - uw = \frac{1}{2} [(u - w)^2 + (v - w)^2 + (w-v)^2]. $

Uwaga. Udowodnione twierdzenie ma prostą interpretację geometryczną. Niech $A$ i $B$ będą wektorami w przestrzeni trójwymiarowej. Z nierówności $(A - B)^2 \geq 0$ wynika, że $2AB \leq A^2 + B^2$ . Jeżeli długości $A$ i $B$ są równe, tj. gdy $A^2 = B^2$ , otrzymujemy nierówność

$ AB \leq A^2. $

Wektory $A = (u, v, w)$ i $B = (v, w, u)$ mają długości równe, gdyż $u^2 + v^2 + w^2 = v^2 + w^2 + u^2$ , zatem

$ uv + uw + vw \leq u^2 + v^2 + w^2. $