XVI OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XVI OM, 1964-1965

Etap:

Przez każdą krawędź kąta trójściennego poprowadzono płaszczyznę zawierającą dwusieczną przeciwległego kąta płaskiego. Dowieść, że poprowadzone trzy płaszczyzny przechodzą przez jedną prostą.

Rozwiązanie

Niech będzie dany kąt trójścienny o wierzchołku $O$ . Odmierzamy na jego krawędziach trzy równe odcinki $OA = OB = OC$ . Weźmy pod uwagę płaszczyznę $\alpha$ przechodzącą przez krawędź $OA$ i przez dwusieczną kąta $BOC$ . Ponieważ trójkąt $BOC$ jest równoramienny, więc dwusieczna kąta $BOC$ przechodzi przez środek $M$ boku $BC$ . Płaszczyzna $\alpha$ , na której leżą punkty $A$ i $M$ przechodzi przez środkową $AM$ trójkąta $ABC$ a tym samym przez środek ciężkości $S$ tego trójkąta. Stąd wynika, że płaszczyzna $\alpha$ przechodzi przez prostą $OS$ . W powyższym rozumowaniu płaszczyznę $\alpha$ można zastąpić płaszczyzną przechodzącą przez inną krawędź kąta trójściennego i przez dwusieczną przeciwległej ściany. Wszystkie te trzy płaszczyzny przechodzą zatem przez prostą $OS$ .