XVI OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XVI OM, 1964-1965

Etap:

Szkoła urządziła trzy wycieczki dla swych 300 uczniów. W każdej wycieczce wzięła udział ta sama liczba uczniów. Każdy uczeń pojechał przynajmniej na jedną wycieczkę, ale połowa uczestników pierwszej, trzecia część uczestników drugiej i czwarta część uczestników trzeciej wycieczki była tylko na jednej wycieczce.
Ilu uczniów pojechało na każdą wycieczkę ? Ilu uczestników pierwszej wycieczki wzięło udział w drugiej a ilu z nich brało nadto udział w trzeciej wycieczce ?

Rozwiązanie

Niech $x$ oznacza liczbę uczestników każdej wycieczki, a $y$ , $z$ , $u$ , $w$ niech oznaczają odpowiednio liczby uczniów, którzy pojechali: a) tylko na pierwszą i drugą wycieczkę, b) tylko na pierwszą i trzecią wycieczkę, c) tylko na drugą i trzecią wycieczkę, d) na wszystkie trzy wycieczki.

Liczba wszystkich uczniów równa się sumie: 1) liczby uczestników tylko jednej wycieczki, tj. liczby $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{4} = \frac{13}{12}x$ , 2) liczby uczestników tylko dwóch wycieczek oraz 3) liczby uczestników wszystkich trzech wycieczek, zatem

$ (1) \qquad \frac{13}{12}x +y+z+u+w=300. $

Liczba uczestników pierwszej wycieczki jest sumą liczb: 1) uczniów, którzy pojechali tylko na pierwszą wycieczkę, 2) uczniów, którzy pojechali na pierwszą i drugą lub na pierwszą i trzecią wycieczkę i 3) uczniów, którzy pojechali na wszystkie wycieczki, zatem

$ (2) \qquad \frac{x}{2} +y + z + w=x. $

Podobnie dla liczby uczestników drugiej i trzeciej wycieczki otrzymujemy równania

$ (3) \qquad \frac{x}{3} +y + u + w=x, $

$ (4) \qquad \frac{x}{4} +z + u + w=x. $

Mamy znaleźć rozwiązania całkowite nieujemne układu równań (1) - (4). Przypuśćmy, że takim rozwiązaniem jest układ liczb $x$ , $y$ , $z$ , $u$ , $w$ . Z równania (1) wynika, że $\frac{13}{12} x$ jest liczbą całkowitą, zatem $x$ jest podzielne przez $12$ . Niech $x = 12t$ ; równania (1) - (4) otrzymują postać

$ (5) \qquad 13t+y + z + u + w= 300, $

$ (6) \qquad 6t = y + z + w, $

$ (7) \qquad 8t = y + u + w, $

$ (8) \qquad 9t = z + u + w. $

Dodając stronami równania (5) i (8), otrzymujemy równanie

$ (9) \qquad 22t + y = 300. $

Ponieważ $y \geq 0$ , więc z (9) wynika, że $t \leq \frac{300}{22}=13,6\ldots$ , zatem

$ (10) \qquad t \leq 13. $

Dodając stronami (6) i (7) i odejmując (8), otrzymujemy

$ (11) \qquad 5t = 2y + w. $

Ponieważ $w \geq 0$ , więc z równania (11) wynika, że $y \leq \frac{5}{2} t$ , wobec czego z równania (9) wnioskujemy, że $22t + \frac{5}{2}t \geq 300$ , zatem
$t \geq \frac{600}{49} = 12,2\ldots,$ skąd

$ (12) \qquad t \geq 13. $

Z (10) i (11) wynika, że

$ t = 13, \quad \textrm{czyli} \quad x = 156. $

Z równań (9), (11), (6) i (7) otrzymujemy kolejno $y = 14$ , $w = 37$ , $z = 27$ , $u = 53$ . Łatwo sprawdzić, że znalezione liczby spełniają układ równań (1) - (4), stanowią zatem jedyne rozwiązanie zadania.