Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XVI OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XVI OM, 1964-1965

Etap:

I

Znaleźć liczby całkowite $x$ i $y$ , spełniające równanie

$<br /> (1) 1 + x + x^2 + x^3 = 2^y.<br />$

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby całkowite $x$ i $y$ spełniają równanie (1). Wówczas $2^y$ jest liczbą całkowitą, więc $y \geq 0$ . Równanie (1) można napisać w postaci

$<br /> (1 + x)(1 + x^2) = 2^y.<br />$

Ponieważ $2^y > 0$ i $1 + x^2 > 0$ , więc $1 + x > 0$ , tj. $x > - 1$ . Rozróżnimy dwa przypadki

a) $x = 0$ , wtedy $2^y = 1$ i $y = 0$ ,

b) $x > 0$ , wtedy $1 + x$ i $1 + x^2$ są dzielnikami liczby $2^y$ większymi od $1$ , zatem

$<br /> (2) \qquad 1 + x = 2^k, 1 + x^2 = 2^l,<br />$

gdzie $k$ i $l$ są liczbami naturalnymi. Ponieważ $x \geq 1$ , więc $1 + x^2 \geq 1+ x$ i $l \geq k$ . Rugując $x$ z równań (2), otrzymujemy $(2^k - 1)^2 + 1 = 2^l$ , a stąd

$<br /> (3) \qquad 2^{2k-1} - 2^k + 1 = 2^{l-1}.<br />$

Lewa strona równości (3) jest liczbą nieparzystą, zatem $2^{l-1}$ jest liczbą nieparzystą, wobec czego $l = 1$ . W takim razie $k = 1$ , $x = 1$ , $y=2$ .

Równanie (1) ma $2$ rozwiązania w liczbach całkowitych: $x = y = 0$ i $x = 1$ , $y = 2$ .

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/1367