XVI OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XVI OM, 1964-1965

Etap:

Dowieść, że jeżeli $p > 0, q > 0, pq = 1$ , to

$ (1 + \frac{1}{p})(1 + \frac{1}{q}) \geq 4. $

Rozwiązanie

Z przyjętego założenia co do liczb $p$ i $q$ wynika, że

$ \left( 1+\frac{1}{p}\right) \left( 1+\frac{1}{q}\right) = \frac{(p+1)(q+1)}{pq} = p+q+2 \geq 2\sqrt{pq} +2=4, $

gdyż średnia arytmetyczna liczb dodatnich $p$ i $q$ jest co najmniej równa średniej geometrycznej tych liczb.

Można też tak rozumować:

$ \begin{split} \left( 1+\frac{1}{p}\right) \left( 1+\frac{1}{q}\right) - 4 = & \left( 1+\frac{1}{p}\right) \left( 1+p\right) - 4 = p +\frac{1}{p} -2 = \\ & = \frac{p^2-2p+1}{p} =\frac{(p-1)^2}{p} \geq 0. \end{split} $