XVI OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XVI OM, 1964-1965

Etap:

Na boku $AB$ trójkąta $ABC$ obrano punkt $K$ i wyznaczono na prostych $AC$ i $BC$ takie punkty $M$ i $N$ , że $KM \perp AC$ , $KN \perp BC$ . Przy jakim położeniu punktu $K$ pole trójkąta $MKN$ jest największe ?

Rozwiązanie

Niech $BC = a$ , $AC = b$ , $\measuredangle ACB = \gamma$ , $KM = p$ , $KN = q$ (rys. 2).

Zauważmy, że $\measuredangle MKN = 180^\circ - \gamma$ .

Istotnie, jeśli z punktu $K_1$ . obranego na dwusiecznej kąta $ACB$ opuścimy prostopadłe $K_1M_1$ i $K_1N_1$ na ramiona tego kąta, to półproste $KM$ i $K_1M_1$ są równoległe a przy tym jednakowo skierowane gdyż punkty $K$ i $K_1$ leżą po tej samej stronie prostej $AC$ .

To samo dotyczy półprostych $KN$ i $K_1N_1$ . Stąd wynika, że kąty $MKN$ i $M_1K_1N_1$ są równe, gdyż jeden otrzymuje się z drugiego przez przesunięcie równoległe. Kąty $M_1K_1N_1$ i $ACB$ są kątami przeciwległymi czworokąta wypukłego, którego dwa pozostałe kąty są proste. Wobec tego $\measuredangle M_1K_1N_1 = 180^\circ - \gamma$ i tak samo $\measuredangle MKN = 180^\circ - \gamma$ , zatem

$ \textrm{Pole } MKN = \frac{1}{2} pq \sin \measuredangle MKN = \frac{1}{2} pq \sin\gamma. $

Z tej równości wnioskujemy, że pole $MKN$ jest największe, gdy iloczyn $pq$ osiąga największą wartość; jednocześnie zachodzi maksimum iloczynu $abpq$ . Lecz suma liczb $bp$ i $aq$ jest stała, gdyż

$ bp + aq = 2 \cdot \mathrm{pole}\ ABC. $

Wobec tego maksimum iloczynu $bp \cdot aq$ ma miejsce wtedy, gdy $bp = aq$ , tzn. gdy $\mathrm{pole}\ AKC =\mathrm{pole}\ BKC$ , co zachodzi wtedy, gdy punkt $K$ jest środkiem boku $AB$ .

Rozumowanie powyższe można nieco zmodyfikować, obliczając $p$ i $q$ z trójkątów $AKM$ i $BKN$ :

$ p = AK \sin \measuredangle A,\quad q = KB \sin \measuredangle B, $

stąd

$ pq = AK \cdot KB \sin \measuredangle A \sin \measuredangle B. $

Maksimum $pq$ zachodzi wtedy, gdy iloczyn $AK \cdot KB$ jest największy. Ponieważ suma $AK + KB = AB$ jest stała, więc ma to miejsce wtedy, gdy $AK = KB$ .