XVIII ZMPB - Zadanie 14

Zawody matematyczne:

XVIII ZMPB, 2007

W czworokącie wypukłym $ABCD$ zachodzi równość $\measuredangle ADC=90^\circ$ . Punkty $E$ i $F$ są rzutami prostokątnymi punktu $B$ odpowiednio na proste $AD$ i $AC$ . Załóżmy, że punkt $F$ leży między $A$ i $C$ , punkt $A$ leży między $D$ i $E$ , zaś prosta $EF$ przechodzi przez środek odcinka $BD$ . Dowieść, że na czworokącie $ABCD$ można opisać okrąg.

Rozwiązanie

Trójkąt $DEB$ jest prostokątny (gdyż $\measuredangle DEB=90^\circ$ ), zatem jeżeli prosta $EF$ , zawierająca wierzchołek kąta prostego tego trójkąta, przechodzi przez środek odcinka $BD$ - przeciwprostokątnej w tym trójkącie, to ma miejsce równość kątów $\measuredangle FEB=\measuredangle DBE$ (rys. 6). Proste $BE$ i $CD$ są równoległe, więc $\measuredangle DBE=\measuredangle CDB$ . Wobec tego otrzymujemy $\measuredangle FEB=\measuredangle CDB$ .

Z drugiej strony, kąty $\measuredangle AEB$ i $\measuredangle AFB$ są kątami prostymi, zatem punkty $A$ , $E$ , $B$ , $F$ leżą w tej kolejności na jednym okręgu i zachodzą równości

$<br /> \measuredangle FEB=\measuredangle FAB=\measuredangle CAB.<br />$

Łącząc to z wcześniej uzyskaną zależnością $\measuredangle FEB=\measuredangle CDB$ widzimy, że $\measuredangle CDB=\measuredangle CAB$ , a to oznacza, że na czworokącie $ABCD$ można opisać okrąg.