XVI OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

XVI OM, 1964-1965

Etap:

Dowieść, że jeżeli wartość funkcji $y = ax^2 + bx + c$ dla trzech kolejnych wartości całkowitych zmiennej $x$ jest liczbą całkowitą, to jest również liczbą całkowitą dla każdej wartości całkowitej $x$ .

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że gdy $x$ przybiera wartości całkowite $k - 1$ , $k$ , $k + 1$ , wtedy $y$ przybiera wartości całkowite $m$ , $n$ , $p$ . Z równości

$ (1) \qquad a (k - 1)^2 + b (k - 1) + c = m, $

$ (2) \qquad ak^2 + bk + c = n, $

$ (3) \qquad a (k + 1)^2 + b (k+ 1) + c = p, $

otrzymujemy przez odejmowanie równości

$ (4) \qquad 2ak - a + b = n - m, $

$ (5) \qquad 2ak + a + b = p - n. $

Z (4) i (5) wynika podobnie równość

$ (6) \qquad 2a = p - 2n + m. $

Na mocy (6) liczba $2a$ jest całkowita, wobec czego z (4) i (5) wnioskujemy, że liczby $a + b$ i $a - b$ są całkowite, a więc całkowita też jest liczbą $2b$ .

Stąd wynika dalej, że liczba c jest całkowita, gdyż według (2)

$ c = n-ak^2-bk = n- (a + b) k^2 + 2b \cdot \frac{k(k-1)}{2}, $

a liczba $\frac{1}{2} k (k - 1)$ jest całkowita.

Otóż

$ (7) \qquad y = ax^2 + bx + c = (a + b) x^2 - 2b \cdot \frac{x(x-1)}{2} + c. $

Gdy liczba $x$ jest całkowita, liczba $\frac{1}{2} x(x - 1)$ jest także całkowita; z równości (7) wynika, że wówczas y jest liczbą całkowitą.

Dowód twierdzenia można ująć nieco inaczej. Wykazujemy najpierw, że jeżeli wartość funkcji kwadratowej $y = ax^2 + bx + c$ jest liczbą całkowitą dla wartości $-1$ , $0$ i $1$ zmiennej $x$ , to jest też liczbą całkowitą dla każdego całkowitego $x$ . Mianowicie z powyższego założenia wynika, że liczby $a-b+c$ , $c$ i $a + b + c$ są całkowite, wobec czego całkowite są również ich różnice $a + b$ i $2b$ . Ponieważ zaś

$ y = ax^2 + bx + c = (a + b) x^2 - 2b \cdot \frac{x(x-1)}{2} + c, $

więc istotnie $y$ jest całkowite dla każdego całkowitego $x$ .

Załóżmy, że funkcja $f(x) = ax^2 + bx + c$ przybiera wartości całkowite dla wartości $k - 1$ , $k$ , $k + 1$ zmiennej $x$ , gdzie $k$ oznacza pewną liczbę całkowitą. Wówczas funkcja kwadratowa $g (x) = a (x + k)^2 + b (x + k) + c$ przybiera wartości całkowite dla wartości $-1$ , $0$ , $1$ zmiennej $x$ , więc na mocy poprzedniego ma wartość całkowitą dla każdego całkowitego $x$ . W takim razie funkcja $f(x)$ ma wartość całkowitą dla każdego całkowitego $x$ , albowiem $f(x) = g (x - k)$ , a gdy $x$ jest liczbą całkowitą, to $x - k$ jest także liczbą całkowitą.

Uwaga. Prawdziwe jest twierdzenie ogólniejsze:

Jeżeli wielomian stopnia $n$ przybiera wartości całkowite dla wartości $k$ , $k + 1, k + 2, \ldots, k + n$ , zmiennej $x$ , gdzie $k$ oznacza daną liczbę całkowitą, to wielomian ten przybiera wartość całkowitą dla każdego całkowitego $x$ .

Dowód, a) Przeprowadzimy dowód najpierw dla przypadku, gdy $k = 0$ .

Zastosujemy metodę indukcji. Gdy $n = 1$ , twierdzenie jest prawdziwe. Jeśli bowiem wartości $a_0$ i $a_0 + a_1$ które przybiera wielomian stopnia pierwszego $a_0x + a_1$ dla $x = 0$ i $x =1$ są całkowite, to całkowita jest też różnica $(a_0 + a_1) - a_0 = a_1$ , wobec czego $a_0x + a_1$ jest dla każdego całkowitego $x$ liczbą całkowitą.

Niech $n$ będzie liczbą całkowitą większą od $1$ . Przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianów stopnia $n - 1$ . Jeżeli wielomian

$ P (x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \ldots + a_{n-1} x + a_n $

przybiera wartości całkowite dla $x = 0, 1, 2, \ldots, n$ , to wielomian

$ \begin{split} P (x + 1) = a_0 (x + 1)^n + a_1 (x + 1)^{n-1} + \ldots + a_{n-1}(x + 1) + a_n = \\ = a_0x^n + (na_0 + a_1)x^{n-1} + \ldots \end{split} $

przybiera wartości całkowite dla $x=0, 1, 2, \ldots, (n - 1)$ . Wobec tego wielomian

$ Q (x) = P (x + 1) - P (x) = na_0x^{n-1} + \ldots $

też przybiera wartości całkowite dla $x = 0, 1, 2, \ldots, (n- 1)$ . Lecz $Q (x)$ jest wielomianem stopnia $n - 1$ , więc na mocy założenia indukcyjnego wartość $Q (x)$ jest całkowita dla każdego całkowitego $x$ . Stąd wynika, że jeżeli dla pewnego całkowitego $x$ jedna z liczb $P (x)$ , $P (x + 1)$ jest całkowita, to i druga jest całkowita. Inaczej mówiąc, jeżeli dla pewnego całkowitego $x$ liczba $P (x)$ jest całkowita, to całkowite są również liczby $P (x + 1)$ i $P (x - 1)$ . Ponieważ zaś liczba $P (0)$ jest całkowita, więc $P (x)$ jest liczbą całkowitą dla każdego całkowitego $x$ , c.n.d.

b) Niech $k$ będzie dowolnie daną liczbą całkowitą. Załóżmy, że wielomian

$ P (x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \ldots + a_{n-1}x + a_n $

przybiera wartości całkowite dla $x = k, k + 1, \ldots , k + n$ . Wówczas wielomian

$ \overline{P} (x) = a_0(x+k)^n+ a_1 (x + k)^{n-1} + \ldots +a_{n-1}(x + k) + a_n $

przybiera wartości całkowite dla $x = 0, 1,\ldots, n$ , więc na mocy a) ma wartość całkowitą dla każdego całkowitego $x$ . W takim razie wartość $P(x)$ jest całkowita dla każdego całkowitego $x$ , gdyż $P (x) =\overline P (x -k)$ , a gdy $x$ jest liczbą całkowitą, to $x - k$ jest też liczbą całkowitą.