XVI OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XVI OM, 1964-1965

Etap:

Udowodnić, że jeżeli dla każdej wartości $a$ zachodzi równość

$ (1) \qquad x \sin \alpha + y \sin 2 \alpha + z \sin 3 \alpha = 0,\quad \text{ to } \quad x = y = z = 0. $

Rozwiązanie

Podstawiając do równania (1) kolejno $\alpha = \frac{1}{2}\pi$ , $\alpha = \frac{1}{3}\pi$ i $\alpha = \frac{1}{4}\pi$ , otrzymujemy układ równań

$ (2) \qquad x - z = 0, \quad x + y = 0, \quad \frac{\sqrt{2}}{2} x + y + \frac{\sqrt{2}}{2}z = 0. $

Z pierwszego i drugiego równania układu (2) otrzymujemy $z = x$ , $y = -x$ ; podstawienie do trzeciego z tych równań daje równanie $(\sqrt{2} - 1) x = 0$ , skąd $x = 0$ , wobec czego również $z = 0$ i $y = 0$ .

Zamiast $\frac{1}{2}\pi$ , $\frac{1}{3}\pi$ i $\frac{1}{4}\pi$ można by wybrać jakieś inne dogodne wartości, np. $\frac{1}{6}\pi$ , $\frac{1}{3}\pi$ i $\frac{1}{4}\pi$ .

Uwaga. Własność funkcji $\sin \alpha$ , $\sin 2\alpha$ , $\sin 3\alpha$ , którą wyraża dowiedzione wyżej twierdzenie, wiąże się z pewnym pojęciem występującym w teorii funkcji.

O funkcjach $f_1 (x), f_2 (x), \ldots,f_n (x)$ zmiennej $x$ określonych w przedziale $(a, b)$ , tj. gdy $a < x < b$ , mówimy, że są liniowo niezależne w tym przedziale, jeżeli równość

$ (*) \qquad c_1f_1 (x) + c_2f_2 (x)+ \ldots+ c_nf_n (x) = 0 $

zachodzi dla każdej wartości $x$ z przedziału $(a, b)$ tylko wtedy, gdy $c_1 = c_2 = \ldots = c_n = 0$ . W przypadku przeciwnym, tj. gdy istnieją takie liczby $c_1, c_2, \ldots, c_n$ , z których co najmniej jedna nie jest zerem, że równość (*) zachodzi dla każdego $x$ z przedziału $(a, b)$ , funkcje $f_1 (x),f_2 (x), \ldots, f_n (x)$ nazywamy liniowo zależnymi w przedziale $(a, b)$ . Możemy wówczas wyrazić jedną z tych funkcji jako tzw. kombinację liniową funkcji pozostałych, czyli jako sumę iloczynów tych funkcji przez pewne liczby. Jeżeli np. $c_n \neq 0$ , to z równości (*) wynika, że

$ f_n(x) = -\frac{c_1}{c_n} f_1(x)-\frac{c_2}{c_n} f_2(x)-\ldots-\frac{c_{n-1}}{c_n} f_{n-1}(x) $

dla każdego $x$ z $(a, b)$ .

Funkcje liniowo niezależne w pewnym przedziale są również liniowo niezależne w każdym przedziale większym (tzn. zawierającym poprzedni przedział), w jakim są określone.

W rozwiązaniu poprzedniego zadania udowodniliśmy, że funkcje $\sin \alpha$ , $\sin 2\alpha$ , $\sin 3\alpha$ zmiennej $\alpha$ są liniowo niezależne w każdym przedziale zawierającym liczby $\frac{1}{2}\pi$ , $\frac{1}{3}\pi$ , $\frac{1}{4}\pi$ , np. w przedziale $(0, \pi)$ , a więc również w zbiorze wszystkich liczb. Można udowodnić, że są one liniowo niezależne w dowolnie małym przedziale.

Tak samo liniowo niezależne są funkcje $\sin \alpha,\ \sin 2\alpha,\ \ldots,\ \sin n \alpha$ oraz $\cos \alpha,\ \cos 2\alpha,\ \ldots,\ \cos n \alpha$ ( $n$ - dowolna liczba naturalna) a także wszystkie te funkcje razem wzięte.

Innym przykładem funkcji liniowo niezależnych w dowolnym przedziale są funkcje $x^0 = 1, x, x^2, \ldots, x^n$ , gdyż jeżeli liczby $c_0, c_1, \ldots, c_n$ nie są wszystkie zerami, to równanie

$ c_0 + c_1x + c_2x^2 + \ldots + c_nx^n = 0 $

może być spełnione co najwyżej przez $n$ wartości $x$ .