XVI OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XVI OM, 1964-1965

Etap:

Udowodnić twierdzenie: Łamana zamknięta o pięciu bokach, której żadne trzy wierzchołki nie leżą na jednej prostej, może przecinać się sama ze sobą w jednym, dwóch, trzech lub pięciu punktach, ale nie może przecinać się ze sobą w czterech punktach.

Rozwiązanie

Nazwijmy punktem zwykłym łamanej zamkniętej każdy jej punkt należący tylko do jednego boku i każdy wierzchołek należący tylko do dwóch boków, a punktem podwójnym każdy punkt należący tylko do dwóch boków łamanej, ale nie będący jej wierzchołkiem. Jeżeli żadne trzy wierzchołki łamanej zamkniętej o pięciu bokach nie leżą na jednej prostej, to każdy punkt łamanej jest albo jej punktem zwykłym albo punktem podwójnym. Udowodnimy, że taka łamana może mieć $0$ , $1$ , $2$ , $3$ lub $5$ punktów podwójnych, ale nie może mieć 4 punktów podwójnych.

Niech $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , $A_4$ , $A_5$ będą kolejnymi wierzchołkami pięciokąta foremnego. Łamane $A_1A_2A_3A_4A_5A_1$ (rys. 7), $A_1A_2A_3A_5A_4A_1$ (rys. 8), $A_1A_3A_5A_4A_2A_1$ (rys. 9) i $A_1A_3A_5A_2A_4A_1$ (rys. 10) mają odpowiednio $0$ , $1$ , $2$ , $5$ punktów podwójnych.

Łamana $A_1A_3SA_2A_4A_1$ , gdzie $S$ jest środkiem tegoż pięciokąta foremnego, ma $3$ punkty podwójne.

Ponieważ $5$ prostych może się przecinać najwyżej w $\frac{5\cdot 4}{2}=10$ punktach, więc łamana o $5$ bokach, mająca przeto $5$ wierzchołków, nie może mieć więcej niż $5$ punktów podwójnych.

Mamy jeszcze dowieść, że liczba punktów podwójnych łamanej nie może być równa $4$ .

Przypuśćmy, że łamana $A_1A_2A_3A_4A_5A_1$ ma więcej niż $3$ punkty podwójne; wykażemy, że ma ona wówczas $5$ punktów podwójnych. Ponieważ łamana ma tylko $5$ boków, więc któreś dwa spośród punktów podwójnych leżą na tym samym boku, np. na boku $A_1A_2$ . Oznaczmy je literami $M$ i $N$ w ten sposób, że $M$ leży między $A_1$ i $N$ . Punkty $M$ i $N$ są to punkty przecięcia boku $A_1A_2$ z bokami $A_3A_4$ i $A_4A_5$ o wspólnym wierzchołku $A_4$ . Cała łamana leży w płaszczyźnie $A_1A_2A_4$ , przy czym pozostałe punkty podwójne leżą po przeciwnej stronie boku $A_1A_2$ niż punkt $A_4$ ; mianowicie znajdują się na bokach $A_1A_5$ i $A_2A_3$ ,

Łatwo się przekonać, że punkt $A_3$ leży na prostej $A_4M$ , a punkt $A_5$ na prostej $A_4N$ . Gdyby bowiem było inaczej, tj. gdyby punkt $A_3$ leżał na prostej $A_4N$ , a punkt $A_5$ — na prostej $A_4M$ (rys. 12), to punkty $A_1$ i $A_3$ leżałyby po przeciwnych stronach prostej $A_4A_5$ , więc bok $A_1A_5$ nie przecinałby żadnego z boków $A_2A_3$ i $A_3A_4$ ; tak samo bok $A_2A_3$ nie przecinałby żadnego z boków $A_4A_5$ i $A_5A_1$ . Łamana miałaby wówczas tylko dwa punkty podwójne $M$ i $N$ - wbrew założeniu.

Wobec powyższego punkty $A_1$ i $A_5$ leżą po przeciwnych stronach prostej $A_3A_4$ ; a punkty $A_2$ i $A_3$ — po przeciwnych stronach prostej $A_4A_5$ bok $A_1A_5$ przecina prostą $A_3A_4$ w pewnym punkcie $P$ , a bok $A_2A_3$ przecina prostą $A_4A_5$ w pewnym punkcie $Q$ . Dowiedziemy, że $P$ i $Q$ są punktami podwójnymi łamanej, a mianowicie że punkt $P$ leży między punktami $A_3$ i $M$ , a punkt $Q$ - między punktami $A_5$ i $N$ . Gdyby punkt $P$ leżał na przedłużeniu odcinka $A_4A_3$ poza punkt $A_3$ (rys. 13), to punkty $A_2$ , $A_3$ , $A_4$ leżałyby po tej samej stronie prostej $A_1A_5$ , więc bok $A_1A_5$ nie przecinałby żadnego z boków $A_2A_3$ i $A_3A_4$ .

Na boku $A_1A_5$ nie byłoby wtedy żadnego punktu podwójnego a na boku $A_2A_3$ leżałby tylko jeden punkt podwójny w przecięciu z bokiem $A_4A_5$ , łamana miałaby zatem tylko $3$ punkty podwójne, co przeczyłoby założeniu. Analogicznie wykazujemy, że punkt $Q$ leży między punktami $A_5$ i $N$ (rys. 14).

W takim razie odcinki $A_1A_5$ i $A_2A_3$ przecinają się w pewnym punkcie $R$ , gdyż odcinek $A_1A_5$ , którego końce leżą na zewnątrz trójkąta $A_3A_4Q$ , przecina bok $A_3A_4$ tego trójkąta a nie przecina boku $A_4Q$ , więc musi przeciąć bok $A_3Q$ . Łamana ma więc $5$ punktów podwójnych: $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ , $R$ .

Uwaga. Twierdzenie udowodnione wyżej jest przypadkiem szczególnym ogólnego twierdzenia o liczbie punktów łamanej zamkniętej. Wypowiemy je dla takich łamanych, których każdy punkt należy najwyżej do dwóch boków. Każdy punkt należący tylko do jednego boku oraz każdy wierzchołek łamanej nazwiemy jej punktem zwykłym, każdy zaś punkt należący do dwóch boków niekolejnych - punktem podwójnym łamanej. Twierdzenie brzmi:

Liczba punktów podwójnych łamanej zamkniętej o $n$ bokach spełniającej powyższy warunek może być równa