XVI OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XVI OM, 1964-1965

Etap:

W przestrzeni dane są dwa wielościany. Dowieść, że najdłuższy z odcinków łączących punkty jednego wielościanu z punktami drugiego ma końce w wierzchołkach wielościanów.

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że jeżeli wszystkie wierzchołki wielościanu leżą po jednej stronie pewnej płaszczyzny, to wszystkie inne punkty wielościanu leżą po tejże stronie owej płaszczyzny.

Przypuśćmy bowiem, że wszystkie wierzchołki wielościanu $W$ znajdują się w półprzestrzeni otwartej (tj. w półprzestrzeni bez punktów płaszczyzny ograniczającej) $\pi$ ograniczonej płaszczyzną $\alpha$ . Ponieważ odcinek łączący dwa punkty półprzestrzeni $\pi$ jest cały zawarty w $\pi$ , więc wszystkie krawędzie wielościanu $W$ leżą w $\pi$ .

Stąd wynika, że wszystkie punkty ścian wielościanu należą do $\pi$ , gdyż każdy punkt ściany leży bądź na krawędzi, bądź na odcinku łączącym punkty dwóch krawędzi. Tak samo każdy punkt wewnętrzny wielościanu należy do $\pi$ , gdyż każdy taki punkt znajduje się na odcinku łączącym punkty dwóch ścian.

Niech będą dane wielościany $W_1$ i $W_2$ . Weźmy pod uwagę wszystkie odcinki łączące wierzchołki wielościanu $W_1$ z wierzchołkami wielościanu $W_2$ . Ponieważ zbiór tych odcinków jest skończony, więc istnieje wśród nich co najmniej jeden odcinek o największej długości. Niech takim odcinkiem będzie $P_1P_2$ ( $P_1$ - wierzchołek $W_1$ , $P_2$ - wierzchołek $W_2$ ) i niech $A_1$ będzie dowolnym punktem wielościanu $W_1$ , a $A_2$ - dowolnym punktem wielościanu $W_2$ .

Dowiedziemy, że $P_1P_2 \geq A_1A_2$ .

Poprowadźmy przez punkt $A_1$ płaszczyznę $\alpha_1$ prostopadłą do prostej $A_1A_2$ , a przez punkt $A_2$ płaszczyznę $\alpha_2$ również prostopadłą do $A_1A_2$ . Półprzestrzeń otwarta $\pi$ , którą ogranicza półpłaszczyzna $\alpha_1$ i do której należy punkt $A_2$ nie zawiera całego wielościanu $W_1$ , gdyż nie należy do niej punkt $A_1$ . Wobec tego na mocy uwagi poprzedniej istnieje wierzchołek $B_1$ wielościanu $W_1$ nie należący do $\pi$ , tzn. leżący na płaszczyźnie $\alpha_1$ lub po przeciwnej stronie płaszczyzny $\alpha_1$ niż punkt $A_2$ . Tak samo istnieje wierzchołek $B_2$ wielościanu $W_2$ leżący na płaszczyźnie $\alpha_2$ lub po przeciwnej stronie płaszczyzny $\alpha_2$ niż punkt $A_1$ . Ponieważ $B_1B_2 \geq A_1A_2$ , a $P_1P_2 \geq B_1B_2$ , więc

$<br /> P_1P_2 \geq A_1A_2.<br />$