Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XVI OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XVI OM, 1964-1965

Etap:

II

Dowieść, że układ warunków

$<br /> (1) \qquad \sqrt{a + b} = \sqrt{a + c} + \sqrt{b + c},<br />$

$<br /> (2) \qquaad c \neq 0,<br />$

gdzie $a, b, c$ oznaczają liczby rzeczywiste, jest równoważny układowi warunków

$<br /> (I) \qquad a > 0, \quad b > 0,<br />$

$<br /> (II) \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0.<br />$

Rozwiązanie

1. Udowodnimy, że z układu warunków (1) i (2) wynika układ warunków (I) i (II). Z równości (1) wynika, że istnieją wartości pierwiastków $\sqrt{a+c}$ i $\sqrt{b+c}$ , zatem

$<br /> (3) \qquad a + c \geq 0, \ b + c \geq 0.<br />$

Podnosimy obie strony równości (1) do kwadratu:

$<br /> a + b = a + c + b + c + 2\sqrt{(a + c)(b + c)},<br />$

stąd

$<br /> (4) \qquad \sqrt{(a + c)(b + c)} = -c.<br />$

Z (2) i (4) wynika, że

$<br /> (5) \qquad c < 0.<br />$

Z (3) i (5) wynikają nierówności

$<br /> (I) \qquad a > 0, \quad b > 0.<br />$

Podnosząc do kwadratu obie strony równości (4), otrzymujemy równość

$<br /> (a + c) (b + c) = c^2,<br />$

a stąd po uproszczeniu równość

$<br /> (7) \qquad bc + ca + ab = 0.<br />$

Dzieląc obie strony równości (7) przez liczbę $abc$ , która na mocy (5) i (I) jest różna od zera, otrzymujemy

$<br /> (II) \qquad \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0.<br />$

2. Udowodnimy, że z układu warunków (I) i (II) wynika układ warunków (1) i (2). Z (I) wynika, że $\frac{1}{a}>0$ i $\frac{1}{b}>0$ , zatem wobec (II)

$<br /> (III) \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{c}<0, \quad \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < 0,<br />$

$<br /> (IV) \qquad \frac{1}{c} < 0.<br />$

Z (IV) wynika, że

$<br /> (V) \qquad c < 0,<br />$

warunek (2) jest przeto spełniony.

Z (I) i (V) wynika, że $ac < 0$ i $bc < 0$ ; mnożąc strony nierówności (III) odpowiednio przez $ac$ i $bc$ otrzymujemy

$<br /> (VI) \qquad a + c>0, \quad b + c> 0.<br />$

Po pomnożeniu obu stron równości (II) przez $abc$ otrzymujemy równość

$<br /> bc + ca + ab = 0,<br />$

zatem

$<br /> bc + ca + ab + c^2 = c^2,<br />$

czyli

$<br /> (a + c)(b + c) = c^2<br />$

Uwzględniając (V), otrzymujemy stąd równość

$<br /> \sqrt{(a + c) (b + c)} = -c,<br />$

z której wynika, że

$<br /> a + c + b + c + 2\sqrt{(a + c)(b + c)} = a + b.<br />$

Powołując się na nierówności (VI), możemy tę ostatnią równość napisać w postaci

$<br /> (\sqrt{a+c} + \sqrt{b+c})^2 = a + b,<br />$

skąd wynika równość

$<br /> (1) \qquad \sqrt{a+c} + \sqrt{b+c} = \sqrt{a+b}.<br />$

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/1375