XVI OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XVI OM, 1964-1965

Etap:

Znaleźć wszystkie takie liczby pierwsze $p$ , że $4p^2 +1$ i $6p^2 + 1$ ą również liczbami pierwszymi.

Rozwiązanie

Do rozwiązania zadania dojdziemy badając podzielność liczb $u = 4p^2 + 1$ i $v = 6p^2 + 1$ przez $5$ . Wiadomo, że reszta z dzielenia przez liczbę naturalną iloczynu dwóch liczb całkowitych równa się reszcie z dzielenia przez ową liczbę iloczynu ich reszt. Na tej podstawie znajdziemy łatwo, co następuje:
\begin{center}
Gdy $p \equiv 0 \pmod 5$ , wtedy $u \equiv 1 \pmod 5$ , $v \equiv 1 \pmod 5$ ;\\
Gdy $p \equiv 1 \pmod 5$ , wtedy $u \equiv 0 \pmod 5$ , $v \equiv 2 \pmod 5$ ;\\
Gdy $p \equiv 2 \pmod 5$ , wtedy $u \equiv 2 \pmod 5$ , $v \equiv 0 \pmod 5$ ;\\
Gdy $p \equiv 3 \pmod 5$ , wtedy $u \equiv 2 \pmod 5$ , $v \equiv 0 \pmod 5$ ;\\
Gdy $p \equiv 4 \pmod 5$ , wtedy $u \equiv 0 \pmod 5$ , $v \equiv 2 \pmod 5$ .\\
\end{center}
Z powyższego wynika, że liczby $u$ i $v$ mogą być obie liczbami pierwszymi tylko wtedy, gdy $p \equiv 0 \pmod 5$ , tzn. gdy $p = 5$ , ponieważ $p$ ma być liczbą pierwszą. W tym przypadku $u = 4 \cdot 5^2 + 1 = 101$ , $v=6\cdot5^2+1 = 151$ , więc są to istotnie liczby pierwsze.

Zatem jedynym rozwiązaniem zadania jest liczba $p = 5$ .