XVI OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XVI OM, 1964-1965

Etap:

Dowieść, że kwadrat można podzielić na dowolną większą od 5 liczbę kwadratów, ale nie można go podzielić na 5 kwadratów.

Rozwiązanie

a) Zauważmy najpierw, że mając kwadrat podzielony na $m$ kwadratów możemy jeden z tych kwadratów podzielić na cztery kwadraty, łącząc środki przeciwległych jego boków. Cały kwadrat będzie wówczas podzielony na $m + 3$ kwadraty.

Niech $n$ będzie liczbą naturalną większą od $1$ . Podzielmy każdy bok kwadratu $Q$ na $n$ równych części i połączmy odcinkami odpowiednie punkty podziału przeciwległych boków (dwa punkty przeciwległych boków kwadratu nazywamy tu odpowiednimi, gdy leżą na prostopadłej do tych boków). Kwadrat $Q$ zostanie wtedy podzielony na $n^2$ mniejszych kwadratów $Q_i$ , przy czym do każdego boku kwadratu $Q$ przylega $n$ kwadratów $Q_i$ .

Weźmy pod uwagę dwa sąsiednie boki kwadratu $Q$ ; przylega do nich $2n - 1$ kwadratów $Q_i$ , gdyż jeden z nich przylega do obu tych boków; pozostałe kwadraty $Q$ wypełniają dokładnie kwadrat $R$ o boku równym $\frac{n-1}{n}$ boku kwadratu $Q$ . Gdy skasujemy wszystkie linie dokonanego podziału, jakie znajdują się w kwadracie $R$ , otrzymamy podział kwadratu $Q$ na $2n - 1$ kwadratów $Q_i$ i kwadrat $R$ , czyli na $(2n - 1) +1 = 2n$ kwadratów.

Kwadrat można więc podzielić na dowolną parzystą liczbę kwadratów większą od $2$ .

W takim razie, na mocy uwagi poprzedniej, kwadrat można również podzielić na $2n + 3 = 2 (n + 1) + 1$ ( $n> 1$ ) kwadratów, tzn. na dowolną nieparzystą liczbę kwadratów, większą od $5$ .

Udowodniliśmy, że kwadrat można podzielić na dowolną większą od $5$ liczbę kwadratów.

b) Gdy kwadrat podzielony jest na same kwadraty, to w takiej figurze występują tylko kąty proste lub półpełne i kwadraty podziału mają boki odpowiednio równoległe do boków całego kwadratu.

Przypuśćmy, że kwadrat $Q$ o boku długości $l$ i o wierzchołkach $A$ , $B$ , $C$ , $D$ podzielony został na $5$ kwadratów $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ , $Q_4$ , $Q_5$ . Każdy wierzchołek kwadratu $Q$ jest wierzchołkiem jednego z kwadratów $Q_i$ ( $i = 1, 2, \ldots, 5$ ), przy czym dwa różne wierzchołki kwadratu $Q$ nie mogą należeć do tego samego kwadratu $Q_i$ , gdyż ich odległość jest $\geq l$ , więc jest większa od długości boku $Q_i$ . Niech $A$ , $B$ , $C$ , $D$ będą odpowiednio wierzchołkami kwadratów $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ , $Q_4$ o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ , $d$ .

Gdyby wszystkie wierzchołki kwadratu $Q_5$ leżały wewnątrz kwadratu $Q$ , to boki kwadratów $Q_i$ pokrywałyby całkowicie boki kwadratu $Q$ , tj. zachodziłaby równość

$ a + b = b+c = c+d = d+a=l, $

skąd wynikałoby, że $c = a$ , $d = b$ ,
wobec czego pole $Q$ wyrażałoby się wzorem

$ \mathrm{pole}\ Q = 2a^2 + 2b^2 + \mathrm{pole}\ Q_5, $

a także wzorem

$ \mathrm{pole}\ Q = (a + b)^2, $

skąd wynikałoby, że

$ \mathrm{pole}\ Q_5= (a+ b)^2 - 2a^2 - 2b^2 = -(a - b)^2 \leq 0, $

co jest niemożliwe.

Gdyby któryś wierzchołek kwadratu $Q_5$ leżał na jednym z boków kwadratu $Q$ , np. na $AB$ , to na $AB$ leżałby któryś z boków kwadratu $Q_5$ , np. $MN$ . Pozostałe $2$ wierzchołki leżałyby na prostopadłych do $AB$ w punktach $M$ i $N$ w odległości mniejszej niż $l$ od $AB$ , tj. znajdowałyby się wewnątrz kwadratu $Q_5$ . Stąd wynikałoby, że

$ b+c = l, \quad c + d = l, \quad d+a=l \quad \textrm{oraz}\quad a + b < l. $

Ten układ warunków jest jednak sprzeczny, gdyż z trzech pierwszych warunków wynika, że $(b + c) - (c + d) + (d + a) = l -l + l =l$ , tj. że $a + b = l$ , co przeczy ostatniemu z nich.

Założenie, że kwadrat $Q$ został podzielony na $5$ kwadratów doprowadziło do sprzeczności. Podział taki jest więc niemożliwy.