Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XVIII ZMPB - Zadanie 15

Zawody matematyczne:

XVIII ZMPB, 2007

Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ jest styczny do boku $AC$ w punkcie $D$ . Inny okrąg przechodzi przez punkt $D$ i jest styczny do półprostych $BC$ i $BA$ - do drugiej z nich w punkcie $A$ . Obliczyć stosunek $AD/DC$ .

Rozwiązanie

Niech $P$ i $R$ będą odpowiednio punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ z bokami $AB$ i $BC$ (rys. 7) oaz niech $S$ będzie punktem styczności drugiego z danych w treści zadania okręgów do prostęj $BC$ .

Oznaczmy

$<br /> x=CD,\quad y=AD.<br />$

Korzystając z równości odcinków stycznych dostajemy

$<br /> CS=RS-CR=PA-CD=DA-CD=y-x,<br />$

co prowadzi do równości

$<br /> (y-x)^2=CS^2=CD\cdot CA=x(x+y).<br />$

Z powyższej równości otrzymujemy $y^2-2yx+x^2=x^2+xy$ , czyli $y^2=3xy$ . Liczba $y=AD$ jest różna od zera, więc $y=3x$ i ostatecznie $AD/DC=y/x=3$ .

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/138