XVI OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XVI OM, 1964-1965

Etap:

III

Udowodnić, że jeżeli liczby $x_1$ i $x_2$ są pierwiastkami równania
$x^2 + px - 1 = 0$ , gdzie $p$ jest liczbą nieparzystą, to dla każdego naturalnego $n$ liczby $x_1^n + x_2^n$ i $x_1^{n+1} + x_2^{n+1}$ są całkowite i względnie pierwsze.

Rozwiązanie

Zastosujemy metodę indukcji. Ponieważ $p$ jest liczbą nieparzystą, więc liczby

$ x_1^0 + x_2^0 = 2\quad \mathrm{i}\quad x_1+ x_2 = -p $

są całkowite i względnie pierwsze. Twierdzenie jest zatem prawdziwe dla $n = 0$ .
Przypuśćmy, że dla pewnego naturalnego $n \geq 0$ liczby

$ x_1^n + x_2^n \quad \mathrm{i} \quad x_1^{n+1} + x_2^{n+1} $

są całkowite i względnie pierwsze. Udowodnimy, że wówczas $x_1^{n+2} + x_2^{n+2}$ jest liczbą całkowitą pierwszą względem $x_1^{n+1} + x_2^{n+1}$ . Istotnie

$ (x_1^{n+1} + x_2^{n+1})(x_1+x_2)=x_1^{n+2} + x_2^{n+2}+x_1x_2(x_1^{n} + x_2^{n}). $

Uwzględniając równości $x_1 + x_2 = -p$ , $x_1x_2 = -1$ , otrzymujemy stąd

$ x_1^{n+2} + x_2^{n+2} =-p (x_1^{n+1} + x_2^{n+1}) + (x_1^{n} + x_2^{n}). $

Z równości tej wynika, że 1) $x_1^{n+2} + x_2^{n+2}$ jest sumą dwóch liczb całkowitych, więc jest liczbą całkowitą, 2) każdy wspólny dzielnik liczb $x_1^{n+2} + x_2^{n+2}$ i $x_1^{n+1} + x_2^{n+1}$ jest dzielnikiem liczby $x_1^{n} + x_2^{n}$ , a tym samym jest wspólnym dzielnikiem liczb względnie pierwszych $x_1^{n+1} + x_2^{n+1}$ i $x_1^{n} + x_2^{n}$ , liczby $x_1^{n+2} + x_2^{n+2}$ i $x_1^{n+1} + x_2^{n+1}$ są zatem względnie pierwsze.