XVI OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XVI OM, 1964-1965

Etap:

Dowieść, że jeżeli liczby całkowite $a$ i $b$ spełniają równanie

$ (1) \qquad 2a^2 + a = 3b^2 + b, $

to liczby $a - b$ i $2a + 2b + 1$ są kwadratami liczb całkowitych.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby całkowite $a$ i $b$ spełniają równanie (1). Gdy $a = 0$ , wtedy $3b^2 + b = b (3b + 1) = 0$ , a ponieważ dla $b$ całkowitego $3b + 1 \neq 0$ , więc $b = 0$ . Teza twierdzenia jest w tym przypadku prawdziwa, gdyż $a - b = 0$ , $2a+2b+1 = 1$ .

Pozostaje do rozpatrzenia przypadek, gdy $a \neq 0$ . Wówczas z równości (1) wynika, że $b \neq 0$ i $a \neq b$ .

\spos{1} Niech $d$ będzie największym wspólnym dzielnikiem liczb $a$ i $b$ i niech

$ (2) \qquad a = a_1d, \quad b = b_1d. $

Liczby całkowite $a_1$ i $b_1$ są względnie pierwsze, przy czym $a_1 \ne b_1$ więc $b_1 = a_1 + r$ , gdzie $r$ jest liczbą całkowitą różną od zera i pierwszą względem $a_1$ .

Z równości (1) i (2) otrzymujemy

$ 2da_1^2 + a_1 = 3db_1^2 + b_1, $

zatem

$ 2da_1^2 + a_1 = 3d (a_1 + r)^2 + a_1 + r, $

skąd

$ (3) \qquad da_1^2 + 6da_1r + 3dr^2 + r = 0. $

Po lewej stronie równości (3) pierwsze trzy wyrazy są podzielne przez $d$ zatem $r$ jest podzielne przez $d$ . Ostatnie trzy wyrazy są podzielne przez $r$ , więc $da_1^2$ jest podzielne przez $r$ , a ponieważ $r$ i $a_1$ są względnie pierwsze, więc $d$ jest podzielne przez $r$ . Stąd wynika, że

$ r =\pm d. $

Gdyby było $r = d$ , wówczas z (3) wynikałoby, że

$ a_1^2 + 6a_1r + 3r^2 + 1 = 0. $

Równość ta nie może zachodzić, gdyż dla żadnego $d_1$ liczba $a_1^2 + 1$ nie jest podzielna przez $3$ . Zatem $r = -d$ . Wobec tego $b_1 = a_1 - d$ , skąd $b = a - d^2$ , więc

$ (4) \qquad a - b = d^2. $

Z równości (1) wynika, że

$ 2a^2 - 2b^2 + a - b = b^2, $

czyli

$ (5) \qquad (a - b) (2a + 2b + 1) = b^2, $

zatem

$ (6) \qquad 2a + 2b + 1 = b_1^2. $

Z równości (4) i (6) wynika teza twierdzenia.

Uwaga 2. Można udowodnić twierdzenie mocniejsze. Mianowicie przy założeniu (1) również liczba $3a + 3b + 1$ jest kwadratem liczby całkowitej. Istotnie

$ (3a + 3b + 1) (a - b) = 3a^2 + a - 3b^2 - b = 3a^2 + a - 2a^2 - a = a^2, $

więc gdy $a \neq b$ , liczba całkowita $3a + 3b + 1$ jest ilorazem liczb $a^2$ i $a - b$ będących kwadratami liczb całkowitych, gdy zaś $a = b = 0$ , wtedy $3a + 3b + 1 = 1$ .