XVI OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XLVI OM, 1994-1995

Etap:

III

Punkty $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ dzielą odpowiednio boki $BC$ , $CA$ , $AB$ trójkąta $ABC$ w stosunkach $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ . Obliczyć stosunek pól trójkątów $A_1B_1C_1$ i $ABC$ .

Rozwiązanie

Według założenia

$ \frac{A_1B}{A_1C} =k_1, \quad \frac{B_1C}{B_1A} =k_2, \quad \frac{C_1A}{C_1B} =k_1. $

Stąd

$ (1) \qquad \begin{split} \frac{A_1B}{BC} = \frac{k_1}{1+k_1}, \qquad \frac{A_1C}{BC} = \frac{1}{1+k_1},\\ \frac{B_1C}{CA} = \frac{k_2}{1+k_2}, \qquad \frac{B_1A}{CA} = \frac{1}{1+k_2},\\ \frac{C_1A}{AB} = \frac{k_3}{1+k_3}, \qquad \frac{C_1B}{AB} = \frac{1}{1+k_3}. \end{split} $

Niech symbol $p (ABC)$ oznacza pole trójkąta $ABC$ (rys. 21). Ponieważ

$ p (ABC) = p (A_1B_1C_1) + p (AB_1C_1) + P (BA_1C_1) + p (CA_1B_1), $

więc

$ \frac{p (A_1B_1C_1)}{p (ABC)} = 1- \frac{p (AB_1C_1)}{p (ABC)} - \frac{p (BA_1C_1)}{p (ABC)} - \frac{p (CA_1B_1)}{p (ABC)}. $

Stosując twierdzenie, że stosunek pól dwóch trójkątów mających wspólny kąt równa się stosunkowi iloczynów boków każdego trójkąta tworzących ten kąt, otrzymujemy

$ (2) \qquad \frac{p (A_1B_1C_1)}{p (ABC)} = 1- \frac{B_1A \cdot C_1A}{CA \cdot AB} - \frac{A_1B \cdot C_1B}{BC \cdot AB} - \frac{A_1C \cdot B_1C}{CA \cdot BC}. $

Podstawienie do równości (2) wartości stosunków (1) daje równość

$ \frac{p (A_1B_1C_1)}{p (ABC)} = 1- \frac{k_3}{(1+k_2)(1+k_3)} - \frac{k_1}{(1+k_1)(1+k_3)} - \frac{k_2}{(1+k_1)(1+k_2)}; $

po przekształceniu prawej strony otrzymujemy

$ \frac{p (A_1B_1C_1)}{p (ABC)} = \frac{1+k_1k_2k_3}{(1+k_1)(1+k_2)(1+k_3)}. $