XVIII ZMPB - Zadanie 16

Zawody matematyczne:

I OM, 1949-1950

Niech $a$ i $b$ będą takimi liczbami wymiernymi, że

$ s=a+b=a^2+b^2. $

Wykazać, że liczbę $s$ można zapisać w postaci ułamka, którego mianownik jest względnie pierwszy z liczbą 6.

Rozwiązanie

Zapiszmy

$ a={m\over k},\qquad b={n\over k}, $

gdzie $m$ , $n$ , $k$ są dodatnimi liczbami całkowitymi oraz $k$ jest najmniejszym możliwym wspólnym mianownikiem. Wynika stąd w szczególności, że liczby $m$ , $n$ , $k$ nie mają wspólnego dzielnika większego od 1.

Na mocy warunków zadania otrzymujemy

$ s=a+b={m+n\over k}=a^2+b^2={m^2+n^2\over k^2}, $

skąd dostajemy równość

$ (1) \qquad (m+n)k=m^2+n^2. $

Z równości tej wynika, że liczby $k$ i $m$ są względnie pierwsze - ich ewentualny wspólny dzielnik pierwszy $p$ dzieliłby lewą stronę oraz liczbę $m^2$ , więc mielibyśmy $p\,|\,n^2$ , lecz płynący stąd wniosek, że $p$ jest wspólnym dzielnikiem liczb $k$ , $m$ , $n$ , przeczyłby wcześniejszym założeniom. Analogicznie liczby $k$ i $n$ są względnie pierwsze.

Ponieważ liczba $s$ daje się zapisać jako ułamek o mianowniku $k$ , więc wystarczy udowodnić, że liczby $k$ i 6 są względnie pierwsze.

Przypuśćmy, że $2\,|\,k$ . Wówczas liczby $m$ i $n$ nie są podzielne przez 2, więc ich kwadraty dają resztę 1 z dzielenia przez 4, co daje $m^2+n^2\equiv 2\mod{4}$ . Jest to niemożliwe - lewa strona równości (1) jest podzielna przez 4, gdyż jest iloczynem dwóch parzystych czynników.

Przypuśćmy, że $3\,|\,k$ . Liczby $m$ i $n$ są zatem niepodzielne przez 3; w efekcie ich kwadraty dają resztę 1 z dzielenia przez 3 oraz $m^2+n^2\equiv 2\mod{3}$ . To daje sprzeczność, gdyż lewa strona zależności (1) jest podzielna przez 3.

Dowiedliśmy więc, że $k$ nie dzieli się przez 2 ani przez 3, skąd teza.