XV OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XV OM, 1963-1964

Etap:

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi równość

$ (1) \qquad l^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2 $

Rozwiązanie

\spos{1} Stosujemy metodę indukcji. Gdy $n = 1$ , równość (1) jest prawdziwa. Przypuśćmy, że jest ona prawdziwa dla pewnej liczby naturalnej $n$ . Wówczas jest ona również prawdziwa dla liczby $n + 1$ . Istotnie, z założenia indukcyjnego wnioskujemy, że

$ (2) \qquad 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 + (n + 1)^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2 + (n + 1)^3 $

a ponieważ

$ (1 + 2 + \ldots + n)^2 = \left[ \frac{1}{2} n(n+1) \right]^2 $

więc z (2) otrzymujemy

$ \begin{split} 1^3 + 2^3 + & \ldots + (n + 1)^3 = \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2 + (n + 1)^3 = (n + 1)^2 \left( \frac{1}{4} n^2 + n + 1 \right) =\\ & \left[ \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right]^2 = \left[ 1 + 2 + \ldots + (n+ 1) \right]^2 \end{split} $

Zatem równość (1) zachodzi dla każdego naturalnego $n$ .