XV OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XV OM, 1963-1964

Etap:

Dowieść, że punkty symetryczne do punktu przecięcia wysokości trójkąta $ABC$ względem prostych $AB, BC, CA$ leżą na okręgu opisanym na trójkącie $ABC$ .

Rozwiązanie

Niech $S$ będzie punktem przecięcia wysokości $AH$ i $BK$ trójkąta $ABC$ , a $S'$ - punktem symetrycznym do punktu $S$ względem prostej $AB$ . Rozróżnimy trzy przypadki:

a) Kąty $A$ i $B$ trójkąta są ostre (rys. 1). Punkt przecięcia $S$ prostych $AH$ i $BK$ leży wówczas po tej samej stronie prostej $AB$ , co punkt $C$ . Jeżeli kąt $ACB$ jest prosty, to punkt $S$ pokrywa się z punktem $C$ , więc $\measuredangle AS'B = \measuredangle ACB$ , wobec czego punkty $S'$ i $C$ leżą na okręgu o średnicy $AB$ . Jeżeli $\measuredangle ACB \ne 90^\circ$ , to punkty $C$ , $H$ , $S$ , $K$ tworzą czworokąt, w którym kąty $H$ i $K$ są proste, więc $\measuredangle HSK = 180^\circ - \measuredangle C$ , a że $\measuredangle AS'B = \measuredangle ASB = \measuredangle HSK$ , więc $\measuredangle AS'B = 180^\circ - \measuredangle C$ . Ponieważ punkt $S'$ leży po przeciwnej stronie prostej $AB$ niż punkty $S$ i $C$ , więc z ostatniej równości wnioskujemy, że $S'$ leży na okręgu przechodzącym przez $A$ , $B$ i $C$ .

b) Jeden z kątów trójkąta, np. kąt $A$ , jest rozwarty (rys. 2). Proste $AH$ i $BK$ przecinają się w punkcie $S$ leżącym po przeciwnej stronie prostej $AB$ niż punkt $C$ ; punkt $S'$ leży wobec tego po tej samej stronie prostej $AB$ , co punkt $C$ .

Trójkąty prostokątne $AKS$ i $AHC$ mają równe kąty przy wierzchołku $A$ , zatem również trzecie ich kąty są równe, tj. $\measuredangle S = \measuredangle C$ ; lecz $\measuredangle S' = \measuredangle S$ , zatem $\measuredangle S' = \measuredangle C$ , stąd zaś wynika, że punkt $S'$ leży na okręgu przechodzącym przez $A$ , $B$ i $C$ .

c) Jeden z kątów $A$ i $B$ , np. $\measuredangle A$ jest prosty. W tym przypadku punkty $S$ i $S'$ pokrywają się z punktem $A$ ; twierdzenie jest oczywiste.