XV OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XV OM, 1963-1964

Etap:

Na płaszczyźnie leży 5 punktów, z których żadne 3 nie są współliniowe. Dowieść, że wśród nich są cztery punkty będące wierzchołkami czworokąta wypukłego.

Rozwiązanie

Niech $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ oznaczają dane punkty. Ponieważ żadne trzy z nich nie są współliniowe, więc punkty $A$ , $B$ , $C$ są wierzchołkami trójkąta, a każdy z punktów $D$ i $E$ leży bądź wewnątrz, bądź na zewnątrz tego trójkąta. Zachodzi zatem jeden z przypadków:

a) Punkty $D$ i $E$ leżą wewnątrz trójkąta $ABC$ . Prosta $DE$ nie przechodzi przez żaden z wierzchołków $A$ , $B$ , $C$ , przecina zatem dwa boki trójkąta, np. $AC$ w punkcie $M$ i $BC$ w punkcie $N$ (rys. 3).

Możemy tak ustalić oznaczenia, że punkt $D$ leży między punktami $M$ i $E$ . Wówczas czworokąt $ADEB$ jest wypukły, gdyż stwierdzamy łatwo, że dla każdego z boków $AD$ , $DE$ , $EB$ , $BA$ pozostałe dwa wierzchołki czworokąta leżą po jednej stronie tego boku.

b) Jeden z punktów $D$ i $E$ , np. punkt $D$ leży wewnątrz trójkąta $ABC$ , $A$ drugi, tj. $E$ , na zewnątrz tego trójkąta. Półproste $DA$ , $DB$ , $DC$ dzielą płaszczyznę na $3$ wypukłe obszary kątowe $ADB$ , $BDC$ , $CDA$ ; punkt $E$ leży wewnątrz jednego z nich, np. wewnątrz kąta $BDC$ . Czworokąt $DBEC$ jest wypukły, gdyż jest częścią wspólną dwóch obszarów kątowych wypukłych $BDC$ i $BEC$ .

c) Punkty $D$ i $E$ leżą na zewnątrz trójkąta $ABC$ . Jeżeli punkt $D$ leży wewnątrz jednego z kątów wypukłych $BAC$ , $CBA$ , $ACB$ , np. wewnątrz kąta $BAC$ (rys. 5), to czworokąt $ABDC$ jest wypukły, jako część wspólna wypukłych obszarów kątowych $BAC$ i $BDC$ .

Jeśli zaś punkt $D$ leży w jednym z kątów wierzchołkowych do kątów trójkąta, np. wewnątrz kąta wierzchołkowego do kąta $A$ , to punkt $A$ leży wewnątrz trójkąta $BDC$ (rys. 6), wobec czego mamy przypadek analogiczny do przypadku a) lub do przypadku b), dla których dowód już przeprowadziliśmy poprzednio.

Uwaga. Figurę $F$ nazywamy wypukłą, jeżeli każdy odcinek, którego końce należą do figury $F$ , zawiera się cały w figurze $F$ . Z tego określenia wynika bezpośrednio, że punkty wspólne dwóch lub więcej figur wypukłych tworzą również figurę wypukłą. Łatwe uzasadnienie tego twierdzenia pozostawiamy Czytelnikowi.

Jeżeli $AB$ jest bokiem wielokąta wypukłego $W$ , to wszystkie punkty tego wielokąta, z wyjątkiem punktów boku $AB$ , leżą po jednej stronie prostej $AB$ . Istotnie, gdyby punkty $C$ i $D$ wielokąta $W$ leżały po przeciwległych stronach prostej $AB$ , to łącząc punkty $C$ i $D$ odcinkami z punktami $A$ i $B$ , otrzymalibyśmy czworokąt $ACBD$ , którego wszystkie boki należałyby do $W$ ; zatem cały czworokąt $ACBD$ zawierałby się w $W$ , wobec czego jego przekątna $AB$ nie mogłaby być bokiem wielokąta $W$ .

Odwrotnie, jeżeli cały wielokąt $W$ leży po jednej stronie każdej prostej zawierającej jeden jego bok, z wyjątkiem punktów tego boku, to wielokąt $W$ jest wypukły. Gdyby bowiem na odcinku $PQ$ łączącym punkty $P$ i $Q$ wielokąta $W$ znajdował się jakiś punkt $M$ nie należący do wielokąta $W$ , to odcinek $PM$ miałby jakiś punkt wspólny z obwodem wielokąta, dajmy na to z bokiem $AB$ , a w takim razie punkty $P$ i $Q$ nie leżałyby po tej samej stronie prostej $AB$ .